Меню Главная Случайная статья Настройки Лоренц-ковариантность Материал из https://ru.wikipedia.org Лоренц-ковариантность — свойство систем математических уравнений, описывающих физические законы, сохранять свой вид при применении преобразований Лоренца[1]. Более точно, всякий физический закон должен представляться релятивистски инвариантной системой уравнений, то есть инвариантной относительно полной ортохронной неоднородной группы Лоренца[2]. Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Содержание 1 Терминология 1.1 Лоренц-ковариантность физических законов 1.2 «Ковариантность» vs «инвариантность» 2 Примеры 2.1 Скаляры 2.2 4-векторы 2.3 Тензоры 3 См. также 4 Примечания 5 Литература Терминология Лоренц-инвариантность и релятивистская инвариантность — синонимы. Функция Лагранжа, из которой получаются уравнения поля, должна быть инвариантна относительно полной группы Лоренца. В это понятие включают преобразования Лоренца и трансляции по всем четырём осям[3]. Лоренц-ковариантность физических законов Лоренц-ковариантность физических законов — конкретизация принципа относительности (то есть постулируемого требования независимости результатов физических экспериментов и записи уравнений от выбора конкретной системы отсчёта). Исторически эта концепция стала ведущей при включении в сферу действия принципа относительности (раньше формулировавшегося с применением не преобразования Лоренца, а преобразования Галилея) максвелловской электродинамики, уже тогда лоренц-ковариантную и не имевшую видимых возможностей переделки для ковариантности относительно преобразований Галилея, что привело к распространению требования лоренц-ковариантности и на механику и вследствие этого к изменению последней. Преобразования Лоренца удобно рассматривать как вращения и специальные преобразования в четырёхмерном пространстве и использовать для их описания векторный и тензорный анализ. Благодаря этому запись систем математических уравнений, описывающих законы природы, в векторной и тензорной форме, позволяет сразу же определить их лоренц-ковариантность, не выполняя преобразование Лоренца.[4] «Ковариантность» vs «инвариантность» В последнее время наметилось вытеснение термина лоренц-ковариантность термином лоренц-инвариантность, который всё чаще применяется равно и к законам (уравнениям), и к величинам [источник не указан 5307 дней]. Трудно сказать, является ли это уже нормой языка или всё же, скорее, некоторой вольностью употребления. Однако в более старой литературе Примеры Ниже используется сигнатура метрического тензора пространства Минковского = diag(+1,1,1,1). Иногда в литературе используется другой выбор знаков, см. Метрика Лоренца. Скаляры Синонимом слов лоренц-инвариантная величина в 4-мерном пространственно-временном формализме является термин скаляр, который для полной конкретизации подразумеваемого контекста иногда называют лоренц-инвариантным скаляром. Скорость света в вакууме. Интервал: ${\displaystyle \Delta s^{2}=\eta _{ab}x^{a}x^{b}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}.\ }$ Собственное время (для времениподобных интервалов): при равномерном движении: ${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\frac {\Delta s^{2}}{c^{2}}}},\,\Delta s^{2}>0.}$ в общем случае: ${\displaystyle \Delta \tau =\int d\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt,\ \ }$ где ${\displaystyle v}$ — величина трёхмерной скорости, причём подразумевается, что всюду ${\displaystyle (ds)^{2}>0,v<c.}$ Собственная длина (для пространственноподобных интервалов): ${\displaystyle L={\sqrt {-\Delta s^{2}}},\,\Delta s^{2}<0.}$ Действие для массивной бесструктурной точечной частицы массой m: ${\displaystyle S=mc^{2}\Delta \tau =mc\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=mc^{2}\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt.}$ Инвариантная масса ${\displaystyle m^{2}c^{2}=\eta _{ab}p^{a}p^{b}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}.}$ Электромагнитные инварианты (из теории Максвелла): ${\displaystyle F_{ab}F^{ab}=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right),}$ ${\displaystyle G_{cd}F^{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}F^{cd}=-{\frac {4}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right).}$ Оператор Д’Аламбера (4-мерный волновой оператор): ${\displaystyle \Box =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ (при данном выборе сигнатуры метрики Минковского Электрический заряд Постоянная Планка Энтропия Постоянная Больцмана Фаза электромагнитной волны 4-векторы Координаты события (радиус-вектор): ${\displaystyle x^{a}=(ct,x,y,z).\ }$ Оператор 4-градиента: ${\displaystyle \partial _{a}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right).}$ 4-скорость: ${\displaystyle U^{a}={\frac {dx^{a}}{cd\tau }}={\frac {1}{c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}$ где ${\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}},v_{y}={\frac {dy}{dt}},v_{z}={\frac {dz}{dt}},v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$ 4-импульс: ${\displaystyle p^{a}=mU^{a}=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right),}$ где 4-ток: ${\displaystyle j^{a}=(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z})=\left(c\rho ,{\vec {j}}\right),\ }$ где Тензоры Символ Кронекера: ${\displaystyle \delta _{b}^{a}={\begin{cases}1,&{\mbox{если }}a=b,\\0,&{\mbox{если }}a\neq b.\end{cases}}}$ Метрический тензор Минковского (метрика Лоренца): ${\displaystyle \eta _{ab}=\eta ^{ab}={\begin{cases}1,&{\mbox{если }}a=b=0,\\-1,&{\mbox{если }}a=b=1,2,3,\\0,&{\mbox{если }}a\neq b.\end{cases}}}$ Абсолютно антисимметричный единичный тензор (символ Леви-Чивиты): ${\displaystyle \epsilon _{abcd}=-\epsilon ^{abcd}={\begin{cases}+1,&{\mbox{если }}\{abcd\}{\mbox{ является чётной перестановкой }}\{0123\},\\-1,&{\mbox{если }}\{abcd\}{\mbox{ является нечётной перестановкой }}\{0123\},\\0&{\mbox{во всех прочих случаях.}}\end{cases}}}$ Тензор электромагнитного поля: ${\displaystyle F_{ab}={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$ и дуальный ему тензор: ${\displaystyle G_{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-E_{z}/c&E_{y}/c\\-B_{y}&E_{z}/c&0&-E_{x}/c\\-B_{z}&-E_{y}/c&E_{x}/c&0\end{bmatrix}}.}$ См. также Симметрия в физике Преобразование Соответствующая инвариантность Соответствующий закон сохранения Трансляции времени Однородность времени …энергии C, P, CP и T-симметрии Изотропность времени …чётности Трансляции пространства Однородность пространства …импульса Вращения пространства Изотропность пространства …момента импульса Группа Лоренца (бусты) Относительность лоренц-ковариантность …движения центра масс ~ Калибровочное преобразование Калибровочная инвариантность …заряда Преобразования Лоренца Принцип относительности Общековариантность Калибровочная инвариантность Ковариантность и контравариантность (математика) Примечания Эйнштейн А. К проблеме относительности // Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1965. — Т. 1. — С. 30. — 700 с. — (Классики науки). — 32 000 экз. Боголюбов и Ширков, 1984, с. 18. Паули, 1983, с. 42. Литература