Меню Главная Случайная статья Настройки Группа треугольника (2,3,7) Материал из https://ru.wikipedia.org Группа треугольника (2,3,7)[1] — треугольная группа (группа фон Дика) D(2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений. Важный объект в теории римановых поверхностей и геометрии Лобачевского в связи с поверхностями Гурвица, а именно[уточнить] с римановыми поверхностями рода g с максимально высоким возможным порядком группы автоморфизмов, равным 84(g 1). Нормальные подгруппы без кручения треугольной группы (2,3,7) являются фуксовыми группами, ассоциированными с поверхностями Гурвица, такими как квартика Клейна?!, поверхность Макбита и первая тройка Гурвица[англ.]. Содержание 1 Построения 1.1 Гиперболическое построение 1.2 Задание группы 1.3 Алгебра кватернионов 2 Связь с SL(2,R) 3 Примечания 4 Литература Построения Гиперболическое построение Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами /2, /3, /7. Этот треугольник является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и его отражения замощают плоскость путём отражений относительно сторон. Рассмотрим группу, порождённую отражениями относительно сторон треугольника. Эта группа является неевклидовой кристаллографической группой[англ.] (дискретной подгруппой гиперболических изометрий) с этим треугольником в качестве фундаментальной области. Ассоциированная мозаика является разделённой семиугольной мозаикой порядка 3[англ.]. Треугольная группа (2,3,7) определяется как подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, и является фуксовой группой (сохраняющей ориентацию неевклидовой кристаллографической группой). Однородные семиугольные/треугольные мозаики[англ.] Симметрия: [7,3], (*732)[англ.] [7,3]+, (732) {7,3} t{7,3} r{7,3} 2t{7,3}[англ.]=t{3,7} 2r{7,3} rr{7,3}[англ.] tr{7,3} sr{7,3} Однородные двойственные мозаики V73 V3.14.14 V3.7.3.7 V6.6.7 V37 V3.4.7.4 V4.6.14[англ.] V3.3.3.3.7 Задание группы Группа может быть задана при помощи пары генераторов, g2, g3, со следующими соотношениями: ${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=1.}$ Геометрически эти соотношения соответствуют вращениям на 2/2, 2/3 и 2/7 вокруг вершин треугольника Шварца. Алгебра кватернионов Группа треугольников (2,3,7) может быть представлена при помощи группы кватернионов с нормой 1 при подходящем R-порядке[англ.][2] в алгебре кватернионов. Конкретнее, группа треугольника является факторгруппой группы кватернионов по её центру ±1. Пусть = 2cos(2/7). Тогда из равенства ${\displaystyle (2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.}$ видим, что Q() является полностью вещественным кубическим расширением Q. Гиперболическая группа треугольника (2,3,7) является подгруппой группы элементов алгебры кватернионов с нормой 1, образованной как ассоциативная алгебра парой генераторов i и j и отношениями i2 = j2 = , ij = ji. Можно выбрать подходящий порядок кватернионов Гурвица[англ.] ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$ в алгебре кватернионов. Здесь порядок ${\displaystyle Q_{\mathrm {Hur} }}$ порождается элементами ${\displaystyle g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij}$ ${\displaystyle g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).}$ Фактически порядок является свободным Z[]-модулем над базисом ${\displaystyle 1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$. Генераторы удовлетворяют условиям ${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,}$ которые сводятся к соотношениям в треугольной группе после взятия факторгруппы по центру. Связь с SL(2,R) Расширив скаляры из Q() в R (путём стандартного вложения), получим изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M(2,R) вещественных 2 х 2 матриц. Выбор конкретного изоморфизма позволяет показать группу треугольника (2,3,7) как частный случай фуксовой группы в SL(2,R), а именно как факторгруппу модулярной группы. Это можно визиуализировать с помощью ассоциированных мозаик, как представлено справа на рисунке — мозаика (2,3,7) диска Пуанкаре является факторпространством модулярной мозаики верхнего полупространства. Однако для многих целей нет необходимости в явном задании изоморфизма. Так, следы элементов группы (а следовательно, расстояние перемещения гиперболических элементов в верхней полуплоскости, как и систолы фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью сокращённых следов в алгебре кватернионов по формуле ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma )=2\cosh(\ell _{\gamma }/2).}$ Примечания Под «треугольной группой (2,3,7)» чаще всего понимается не полная треугольная группа (2,3,7) (группа Коксетера с треугольником Шварца (2,3,7), или реализованная как гиперболическая группа отражений[англ.]), а именно «обычная» треугольная группа ${\displaystyle D(2,3,7)}$. Слово «порядок» многозначно. В данном контексте под порядком понимается порядок кольца (R-порядок). См. книгу Райнера «Максимальные порядки» (Reiner 2003). Platonic tilings of Riemann surfaces: The Modular Group Архивная копия от 28 октября 2009 на Wayback Machine, Gerard Westendorp Архивная копия от 10 марта 2011 на Wayback Machine Литература I. Reiner. Maximum order. — Oxford: Clarendon Press, 2003. — Т. 28 (переиздание). — (London Mathematical Society Monographs New Series). M. Katz, M. Schaps, U. Vishne. Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups // J. Differential Geom.. — 2007. — Т. 76, вып. 3. — С. 399–422.