Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Паркет или замощение — разбиение плоскости на многоугольники или пространства на многогранники без пробелов и наслоений.
Кроме паркетов на евклидовой плоскости, в математике рассматриваются «паркеты» на сфере, гиперболической плоскости
Содержание
Терминология
Замощения, мозаики, паркеты, разбиения
Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками (англ. tessellation, tiling), разбиениями плоскости (англ. partition), паркетажами. Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют сотами.
На странице 16 книги Грюнбаума и Шепарда[англ.] «Tilings and Patterns» (1987)[2] находится следующее примечание:
В математической литературе слова tessellation, paving, mosaic и parquetting используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung и Zerlegung; французские слова — pavage, carrelage и dallage; русские слова — паркетаж, разбиение и замощение.
Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда называют картами (см., напр., теорема о четырёх красках).
Покрытия и упаковки
Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру Ф, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры Ф. При этом покрывающие фигуры могут перекрываться, но покрывают фигуру Ф без пробелов.
Упаковка — это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных (т.е. без перекрытий).
Замощение — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой[2][3].
Протоплитки
Протоплитки паркета (англ. prototiles, также прототипы[4]) — это плитки (формы), входящие в паркет. Каждая плитка паркета конгруэнтна одной из протоплиток[5].
Так, единственная протоплитка шестиугольного паркета — правильный шестиугольник; протоплиткой правильного сферического пятиугольного паркета является пентагон; множество протоплиток ромботришестиугольного паркета состоит из равностороннего треугольника, квадрата и гексагона.
Паркет называется k-эдрическим, если множество его протоплиток (протомножество) состоит из k плиток[2][4].
Плитки паркета также называют гранями, а стороны многоугольных плиток — рёбрами, по аналогии с терминологией для многогранников[6].
Конфигурации вершин и граней
Ромботришестиугольный паркет[англ.] состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В случае, если два и более числа в этой последовательности идут подряд, используется сокращённая запись: треугольный паркет может быть обозначен как 3.3.3.3.3.3 или как 36. При этом записи, отличающиеся лишь циклической перестановкой чисел или изменением порядка записи на противоположный (например, 3.3.4.3.4 и 4.3.3.4.3), обозначают одну и ту же конфигурацию вершины; в то же время запись 3.4.4.6 не эквивалентна записи 3.4.6.4[4][7][8][9][10].
В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.
Конфигурацией грани называется последовательность степеней вершин этой грани при обходе её в одном направлении. Конфигурация грани записывается последовательностью чисел в квадратных скобках[2] или с префиксом V.
Если все вершины некоторого паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью a1.a2....ak, то все грани двойственного ему паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью Va1.a2....ak. Например, конфигурации граней паркета, двойственного ромботришестиугольному паркету 3.4.6.4 (англ.), записываются как V3.4.6.4.
Виды паркетов
Во многих случаях принимается условие эквивалентности каждой из протоплиток паркета топологическому диску; иными словами, плитка не должна состоять из нескольких частей (квазиполимино[11]), содержать «отверстия», быть бесконечной полосой и т.п.[2][4].
Паркеты на плоскости
Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами (англ. regular tilings). Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет[9][12][13].
|
|
