Меню Главная Случайная статья Настройки Диэдральная симметрия в трёхмерном пространстве Материал из https://ru.wikipedia.org Точечная группа в трёхмерном пространстве Симметрии-инволюции Cs, (*) [ ] = Циклическая симметрия Cnv, (*nn) [n] = Диэдральная симметрия Dnh, (*n22) [n,2] = Группы многогранников, [n,3], (*n32) Тетраэдральная симметрия Td, (*332) [3,3] = Октаэдральная симметрия Oh, (*432) [4,3] = Икосаэдральная симметрия Ih, (*532) [5,3] = Диэдральная симметрия в трёхмерном пространстве — это одна из трёх бесконечных последовательностей точечных групп в трёхмерном пространстве, которые имеют группы симметрии, являющиеся абстрактными диэдральными группами Dihn (для n  2). Содержание 1 Типы 2 Подгруппы 3 Примеры 4 См. также 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки Типы Существует три типа диэдральной симметрии в трёхмерном пространстве, каждая показана ниже в трёх обозначениях: нотация Шёнфлиса, нотация Коксетера[англ.] и орбифолдная нотация[англ.]. Хиральная Dn, [n,2]+, (22n) порядка 2n – диэдральная симметрия или пара-n-угольная группа (абстрактная группа - Dihn). Ахиральные Dnh, [n,2], (*22n) порядка 4n – призматическая симметрия или полная орто-n-угольная группа (абстрактная группа - Dihn Z2). Dnd (или Dnv), [2n,2+], (2*n) порядка 4n – антипризматическая симметрия или полная гиро-n-угольная группа (абстрактная группа - Dih2n). Для заданного n все три типа имеют вращательную симметрию порядка n вокруг одной оси (вращение на угол 360°/n не изменяет объект), и n вращательных симметрий порядка 2 для перпендикулярных осей. Для n = они соответствуют трём группам бордюра. Обозначения симметрий указаны в нотации Шёнфлиса, в квадратных скобках - в нотации Коксетера[англ.] и в круглых скобках - в орбифолдной нотации[англ.]. Термин «горизонтальный» (h) используется по отношению к вертикальной оси вращения. В двумерном пространстве (на плоскости) группа симетрии Dn вклячает зеркальное отражение относительно прямых. Если плоскость вложена в трёхмерное пространство, такие отражения можно рассматривать либо как сужение на плоскость зеркального отражения относительно вертикальной плоскости, либо как сужение на плоскость вращения на 180° вокруг оси вращения. В трёхмерном пространстве две операции отличаются - группа Dn содержит только вращения и не содержит зеркальных отражений. Другая группа - циклическая или пирамидальная симметрия Cnv того же порядка 2n. Вместе с зеркальной симметрией относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения порядка n, мы имеем Dnh, [n], (*22n). Dnd (или Dnv), [2n,2+], (2*n) имеет вертикальные плоскости отражения, проходящие между горизонтальными осями вращения, а не через них. Как результат, вертикальная ось является осью несобственного вращения[англ.] порядка 2n. Dnh является гуппой симметрии правильной n-угольной призмы, а также правильной n-угольной бипирамиды. Dnd является гуппой симметрии правильной n-угольной антипризмы, а также правильного n-угольного трапецоэдра. Dn является гуппой симметрии частично повёрнйтой призмы. Случай n = 1 не включён, поскольку три типа симметрии равны следующим: D1 и C2 - группа порядка 2 простого вращения на 180°. D1h и C2v - группа порядка 4 с отражение относительно плоскости и поворотом на 180° вокруг прямой на этой плоскости. D1d и C2h - группа порядка 4 с отражением относительно плоскости и поворотом на 180° вокруг прямой, перпендикулярной плоскости. Для n = 2 нет главной оси и двух дополнительных, а есть три равноправные оси. D2, [2,2]+, (222) - группа порядка 4 является одним из трёх типов групп симметрии с четверной группой Кляйна в качестве абстрактной группы. Симметрия имеет три перпендикулярные оси вращения второго порядка. Она является группой симметрии кубоида с буквой S, написанной на двух противоположных гранях с той же ориентацией. D2h, [2,2], (*222) - группа порядка 8 является группой симметрии кубоида. D2d, [4,2+], (2*2) - группа порядка 8 является группой симметрии, например, для многогранников Квадратный кубодид с диагональю, нарисованной на одной из квадратных граней и перпендикулярной диагональю на другой грани. Правильны тетраэдр, растянутый в направляени прямой, соединяющей середины двух противоположных рёбер (D2d является подгруппой Td; путём растяжения мы уменьшаем симетрию). Подгруппы D2h, [2,2], (*222) D4h, [4,2], (*224) Для Dnh, [n,2], (*22n) порядка 4n Cnh, [n+,2], (n*) порядка 2n Cnv, [n,1], (*nn) порядка 2n Dn, [n,2]+, (22n) порядка 2n Для Dnd, [2n,2+], (2*n) порядка 4n S2n, [2n+,2+], (n) порядка 2n Cnv, [n+,2], (n*) порядка 2n Dn, [n,2]+, (22n) порядка 2n Dnd является также подгруппой группы D2nh. Примеры D2h, [2,2], (*222) порядок 8 D2d, [4,2+], (2*2) порядок 8 D3h, [3,2], (*223) порядок 12 Контуры швов баскетбольного мяча Контуры швов бейсбольного мяча (игнорируем направленность шва) Пляжный мяч[англ.] (игнорируем раскраску) Dnh, [2,n], (*22n): призмы D5h, [2,5], (*225): Пентаграмная призма[англ.] Пентаграмная антипризма[англ.] D4d, [8,2+], (2*4): Плосконосая квадратная антипризма D5d, [10,2+], (2*5): Пятиугольная антипризма Пентаграммная скрещенная антипризма[англ.] Пятиугольный трапецоэдр D17d, [34,2+], (2*17): Семиугольная антипризма См. также Список групп сферической симметрии Точечная группа в трёхмерном пространстве Циклическая симметрия в трёхмерном пространстве Примечания Литература H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9. John Horton Conway, Daniel H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups // Structural Chemistry. — Springer Netherlands, 2002. — Т. 13, вып. 3. — С. 247–257. — doi:10.1023/A:1015851621002. Ссылки Graphic overview of the 32 crystallographic point groups – form the first parts (apart from skipping n=5) of the 7 infinite series and 5 of the 7 separate 3D point groups