Меню Главная Случайная статья Настройки Икосаэдральная симметрия Материал из https://ru.wikipedia.org Точечная группа в трёхмерном пространстве Симметрии-инволюции Cs, (*) [ ] = Циклическая симметрия Cnv, (*nn) [n] = Диэдральная симметрия Dnh, (*n22) [n,2] = Группы многогранников, [n,3], (*n32) Тетраэдральная симметрия Td, (*332) [3,3] = Октаэдральная симметрия Oh, (*432) [4,3] = Икосаэдральная симметрия Ih, (*532) [5,3] = Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет порядок симметрии[англ.] 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру. Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A5 (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A5 ${\displaystyle \times }$ Z2. Последняя группа известна также как группа Коксетера H3 и представляется в нотации Коксетера[англ.] как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина . Содержание 1 Как точечная группа 1.1 Визуализация 2 Структура группы 2.1 Группы, которые часто путают с группой симметрий икосаэдра 2.2 Классы сопряжённости 2.3 Явное представление матрицами вращений 2.4 Подгруппы с полной икосаэдральной симметрией 2.4.1 Стабилизаторы вершин 2.4.2 Стабилизаторы рёбер 2.4.3 Стабилизаторы граней 2.4.4 Стабилизаторы многогранников 3 Фундаментальная область 4 Многогранники с икосаэдральной симметрией 4.1 Хиральные многогранники 4.2 Полная икосаэдральная симметрия 5 Другие объекты с икосаэдральной симметрией 5.1 Жидкие кристаллы с икосаэдральной симметрией 6 Связанные геометрии 7 См. также 8 Примечания 9 Литература 10 Ссылки Как точечная группа Кроме двух бесконечных семейств призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдральная симметрия или хиральная икосаэдральная симметрия хиральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдральная симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, эквивалентно, симметриями на сфере) с наибольшей группой симметрии. Икосаэдральная симметрия не совместима с трансляционной симметрией, так что нет ассоциированных кристаллографических точечных групп или кристаллографических групп. Шёнфлис Коксетер[англ.] Орбифолд[англ.] Абстрактная структура Порядок[англ.] I [5,3]+ 532 A5 60 Ih [5,3] *532 ${\displaystyle A_{5}\times 2}$ 120 Задания групп, соответствующие описанным выше: ${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$ ${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$ Это соответствует икосаэдральным группам (вращения и полным), которые являются (2,3,5) группами треугольника. Первое задание группы дал Гамильтон в 1856 году в своей статье по икосианам[1]. Заметим, что возможны другие задания, как, например, знакопеременная группа (для I). Визуализация Шёнфлис (Орбифолд[англ.]) Нотация Коксетера[англ.] Элементы Зеркальные диаграммы Ортогональная Стереографическая проекция Ih (*532) [5,3] Зеркальных линий: 15 I (532) [5,3]+ Точек вращения: 125 203 302 Структура группы Рёбра сферического соединения пяти октаэдров представляют 15 плоскостей зеркального отражения в виде больших цветных окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 ортогональных плоскостей зеркального отражения по его рёбрам. Пиритоэдральная симметрия является подгруппой с индексом 5 икосаэдральной симметрии, с 3 ортогональными зелёными линиями отражений и 8 красных порядка 3 точек вращения. Поскольку подгруппа имеет индекс 5, имеется 5 других ориентаций пиритоэдральной симметрии. Группа вращений икосаэдра I имеет порядок 60. Группа I изоморфна группе A5, знакопеременной группе чётных перестановок из пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путём действия I на различные соединения, в частности на соединение пяти кубов[англ.] (которое вписано в двенадцатигранник), соединение пяти октаэдров, или одно из двух соединений пяти тетраэдров (которые энантиоморфны и вписаны в двенадцатигранник). Группа содержит 5 версий Th с 20 версиями D3 (10 осей, 2 на ось), и 6 версий D5. Полная икосаэдральная группа Ih имеет порядок 120. I является нормальной подгруппы группы Ih индекса 2. Группа Ih изоморфна ${\displaystyle I\times Z_{2}}$, или ${\displaystyle A_{5}\times Z_{2}}$, с центральной симметрией, соответствующей (1,-1), где Z2 записывается мультипликативно. Ih действует на соединение пяти кубов[англ.] и соединение пяти октаэдров, но 1 действует как тождественный элемент (так как кубы и октаэдры центрально симметричны). Группа действует на соединение десяти тетраэдров — I действует на две хиральные половинки (соединения пяти тетраэдров), а 1 обменивает местами две половинки. В частности, она не действует как S5 и эти группы не изоморфны, смотрите ниже. Группа содержит 10 версий D3d и 6 версий D5d (симметрии аналогичные антирпизимам). I изоморфна также группе PSL2(5), но Ih не изоморфна SL2(5). Группы, которые часто путают с группой симметрий икосаэдра Следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны друг другу: S5, симметрическая группа 5 элементов Ih, полная икосаэдральная группа (предмет данной статьи, известная также как H3) 2I, бинарная группа икосаэдра Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разбивается) и произведению ${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$ ${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$ ${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$ Иными словами, ${\displaystyle A_{5}}$ является нормальной подгруппой группы ${\displaystyle S_{5}}$ ${\displaystyle A_{5}}$ является факторгруппой группы ${\displaystyle I_{h}}$, которая является прямым произведением ${\displaystyle A_{5}}$ является факторгруппой группы ${\displaystyle 2I}$ Заметим, что ${\displaystyle A_{5}}$ имеет исключительное[англ.] неприводимое 3-мерное представление (как икосаэдральная группа вращений), но ${\displaystyle S_{5}}$ не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметрической группой. Их можно соотнести с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые представляют собой подгруппы накрывающих групп прямо. Ни одна из них не является полной икосаэдральной группой: ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$ проективная специальная линейная группа; ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$ проективная полная линейная группа; ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$ специальная линейная группа. Классы сопряжённости Классы сопряжённости I Ih Тождество ${\displaystyle 12\times }$ вращение на 72°, порядок 5 ${\displaystyle 12\times }$ вращение на 144°, порядок 5 ${\displaystyle 20\times }$ вращение на 120°, порядок 3 ${\displaystyle 15\times }$ вращение на 180°, порядок 2 Отражение ${\displaystyle 12\times }$ зеркальное отражение с вращением на 108°, порядок 10 ${\displaystyle 12\times }$ зеркальное отражение с вращением на 36°, порядок 10 ${\displaystyle 20\times }$ r зеркальное отражение с вращением на 60°, порядок 6 ${\displaystyle 15\times }$ зеркальное отражение, порядок 2 Явное представление матрицами вращений В контексте вычислений, группа икосаэдральных вращений ${\displaystyle I}$, описанная выше, может быть представлена следующими 60 матрицами поворота. Оси вращений соответствуют всем циклическим перестановкам ${\displaystyle (\pm 1,0,\pm \phi )}$, где ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ является золотым сечением. Отражение относительно любой плоскости, проходящей через начало координат, дают полную икосаэдральную группу ${\displaystyle I_{h}}$. Все эти матрицы могут быть получены, начав с единичной матрицы, последовательным умножением каждой матрицы в наборе на любые из двух произвольных невырожденных матриц, таких как ${\displaystyle R_{6}}$ и ${\displaystyle R_{58}}$, пока размер множества не перестанет расти. ${\displaystyle R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$ Подгруппы с полной икосаэдральной симметрией Шёнфлис Коксетер[англ.] Орбифолд[англ.] Г-М Структура Циклы Порядок Индекс Ih [5,3] *532 532/m A5${\displaystyle \times Z_{2}}$ 120 1 D2h [2,2] *222 mmm Dih2${\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3}}$ 8 15 C5v [5] *55 5m Dih5 10 12 C3v [3] *33 3m Dih3=S3 6 20 C2v [2] *22 2mm Dih2=Dih12 4 30 Cs [ ] * 2 or m Dih1 2 60 Th [3+,4] 3*2 m3 ${\displaystyle A_{4}\times Z_{2}}$ 24 5 D5d [2+,10] 2*5 10m2 ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}}$ 20 6 D3d [2+,6] 2*3 3m ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3}}$ 12 10 ${\displaystyle D_{1d}=C_{2h}}$ [2+,2] 2* 2/m Dih2=Z2${\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}}$ 4 30 S10 [2+,10+] ${\displaystyle 5\times }$ 5 ${\displaystyle Z_{10}=Z_{2}\times Z_{5}}$ 10 12 S6 [2+,6+] ${\displaystyle 3\times }$ 3 ${\displaystyle Z_{6}=Z_{2}\times Z_{3}}$ 6 20 S2 [2+,2+] ${\displaystyle \times }$ 1 ${\displaystyle Z_{2}}$ 2 60 I [5,3]+ 532 532 A5 60 2 T [3,3]+ 332 332 A4 12 10 D5 [2,5]+ 522 522 Dih5 10 12 D3 [2,3]+ 322 322 Dih3=S3 6 20 D2 [2,2]+ 222 222 ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2}}$ 4 30 C5 [5]+ 55 5 ${\displaystyle Z_{5}}$ 5 24 C3 [3]+ 33 3 ${\displaystyle Z_{3}=A_{3}}$ 3 40 C2 [2]+ 22 2 ${\displaystyle Z_{2}}$ 2 60 C1 [ ]+ 11 1 ${\displaystyle Z_{1}}$ 1 120 Все эти классы подгрупп сопряжены (то есть все стабилизаторы вершин сопряжены) и допускают геометрическую интерпретацию. Заметим, что стабилизатор вершины/ребра/грани/многогранника и его противоположный равны. Стабилизаторы противоположных пар вершин можно интерпретировать как стабилизаторы осей, которые они образуют. стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C3 стабилизаторы вершин в Ih дают диэдральные группы?! D3 стабилизаторы противоположных пар вершин в I дают диэдральные группы D3 стабилизаторы противоположных пар вершин в Ih дают ${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$ Стабилизаторы противоположных пар рёбер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они образуют. Стабилизаторы рёбер в I дают циклические группы Z2 Стабилизаторы рёбер в Ih дают четверные группы Клейна ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$ стабилизаторы пар рёбер в I дают четверные группы Клейна ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$. Существует 5 из них, задаваемых вращением на 180° в 3 перпендикулярных осях. стабилизаторы пар рёбер в Ih дают ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$. Существует 5 таких, и они задаются отражениями относительно 3 перпендикулярных осей. Стабилизаторы противоположных пар граней можно интерпретировать как стабилизаторы антипризмы, которую они порождают. стабилизаторы граней в I дают циклические группы C5 стабилизаторы граней в Ih дают диэдральные группы D5 стабилизаторы противоположных пар граней в I дают диэдральные группы D5 стабилизаторы противоположных пар граней в Ih дают ${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$ Для каждого из них есть 5 сопряжённых копий и операция сопряжения образует отображение, фактически, изоморфизм ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$. стабилизаторы вписанного тетраэдра в I являются копией T стабилизаторы вписанного тетраэдра в Ih являются копией T стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копиями T стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в Ih являются копиями Th Фундаментальная область Фундаментальные области для икосаэдральной группы вращений и полная икосаэдральная группа задаются как: икосаэдральная группа вращений I Полная икосаэдральная группа Ih Грани гекзакисикосаэдра являются фундаментальными областями В гекзакисикосаэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией могут быть получены путём настройкой ориентации граней, например, выравниванием выбранного подмножества граней с последующим объединением каждого подмножества в грань, или путём замены каждой грани на несколько граней, или путём создания неплоской поверхности. Многогранники с икосаэдральной симметрией Хиральные многогранники Класс Символы Рисунок Архимедовы sr{5,3} Каталановы V3.3.3.3.5 Полная икосаэдральная симметрия Правильный многогранник Тела Кеплера — Пуансо Архимедовы тела {5,3} {5/2,5} {5/2,3} t{5,3} t{3,5} r{3,5} rr{3,5} tr{3,5} Правильный многогранник Тела Кеплера — Пуансо Каталановы тела {3,5} = {5,5/2} = {3,5/2} = V3.10.10 V5.6.6 V3.5.3.5 V3.4.5.4 V4.6.10 Другие объекты с икосаэдральной симметрией Примеры икосоэдральной симметрии Поверхности Барта[англ.] Структура вируса и Капсиды В химии ион додекабората[англ.] ([B12H12]2) и молекула додекаэдрана (C20H20) Жидкие кристаллы с икосаэдральной симметрией Для промежуточного стояния вещества, называемого жидкими кристаллами, существование икосаэдральной симметрии предположили Х. Кляйнерт и К. Маки[2] и впервые детально проанализировали структуру этих кристаллов. См. обзор статьи здесь. В алюминии икосаэдральную структуру обнаружил тремя годами позже Дан Шехтман, что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году. Связанные геометрии Группа симметрий икосаэдра эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5). Помимо этого, группа PSL(2,p) является группой симметрии модулярной кривой X(p). Модулярная кривая X(5) геометрически является двенадцатигранником с каспом в центре каждой грани и имеет соответствующую группу симметрии. Эту геометрию и ассоциированную группу симметрии изучал Феликс Кляйн как группы монодромии поверхности Белого — римановы поверхности с голоморфным отображением в риманову сферу, разветвлённым в 0, 1 и бесконечности — каспы являются точками на бесконечности, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат на 0 и 1. Степень накрытия (число листов) равно 5. Это возникает из его попыток дать геометрическое обоснование, почему икосаэдральная симметрия появляется в решении уравнения пятой степени в теории из знаменитой статьи Кляйна[3]. Современное описание дано в статье Тота[4]. Исследования Кляйна продолжились с его открытием симметрий 7 и 11 порядков в статьях 1878-1879 годов[5][6] (и ассоциированных накрытий степени 7 и 11) и dessins d'enfants[англ.] (так называемых «детских рисунков»), давших первые появления квартик Кляйна?!, ассоциированная геометрия которых имеет мозаику из 24 семиугольников (с каспом в центре каждого семиугольника). Подобные геометрии случаются для групп PSL(2,n) и более общих групп для других модулярных кривых. Более экзотичное проявление, существует особая связь между группами PSL(2,5) (порядка 60), PSL(2,7) (порядка 168) и PSL(2,11) (порядка 660), которые также допускают геометрические интерпретации — PSL(2,5) является симметриями икосаэдра (род 0), PSL(2,7) — квартики Клейна?! (род 3), а PSL(2,11) — поверхности фуллерона (род 70). Эти группы образуют «троицу» в терминологии В. И. Арнольда, что даёт основу для различных связей. См. подробнее в статье «Троицы». Также группа симметрий икосаэдра тесно связана с другими группами симметрий правильных многогранников. См. также Тетраэдральная симметрия Октаэдральная симметрия[англ.] Бинарная группа икосаэдра Икосианы Примечания Hamilton, 1856, с. 446. Kleinert, Maki, 1981, с. 219–259. Klein, 1888. Tth, 2002, с. 66; Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron. Klein, 1878. Klein, 1879. Литература Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // Philosophical Magazine. — 1856. — Т. 12. — С. 446. Kleinert H., Maki K. Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals // Fortschritte der Physik. — 1981. — Т. 29, вып. 5. — С. 219–259. — doi:10.1002/prop.19810290503. Felix Klein. Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. — 1878. — Т. 14, вып. 3. — С. 428–471. — doi:10.1007/BF01677143. Перевод на английский On the order-seven transformation of elliptic functions // The Eightfold Way / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — ISBN 978-0-521-66066-2. Felix Klein. Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions) // Mathematische Annalen. — 1879. — Т. 15, вып. 3—4. — С. 533–555. — doi:10.1007/BF02086276. Oeuvres, Tome 3, pp. 140—165 Ссылки Weisstein, Eric W. Icosahedral group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. THE SUBGROUPS OF W(H3) (Подгруппы других групп Коксетера) Gotz Pfeiffer