Меню Главная Случайная статья Настройки Идеальная точка Материал из https://ru.wikipedia.org Несобственная точка, идеальная точка, омега-точка или бесконечно удалённая точка[1] — это вполне определённая[англ.] точка вне гиперболической плоскости или пространства. Если дана прямая l и точка P вне l, то проходящие через P прямые, справа и слева параллельные в пределе к прямой l, сходятся к l в идеальных точках. В отличие от проективного случая, идеальные точки образуют границу, а не подмногообразие. Таким образом, эти прямые не пересекаются в идеальной точке, и такие точки, хотя они вполне определены[англ.], не принадлежат самому гиперболическому пространству. Идеальные точки вместе образуют абсолют Кэли[англ.] или границу гиперболической геометрии. Например, единичная окружность образует абсолют Кэли дисковой модели Пуанкаре и дисковой модели Клейна. В это же время вещественная прямая образует абсолют Кэли модели полуплоскости[2]. Аксиома Паша и теорема о внешнем угле треугольника выполняются для омега-треугольника, который определяется двумя точками гиперболического пространства и омега-точкой[3]. Содержание 1 Свойства 2 Многоугольники с идеальными вершинами 2.1 Идеальные треугольники 2.2 Идеальные четырёхугольники 2.3 Идеальный квадрат 2.4 Идеальные n-угольники 3 Представления в моделях гиперболической геометрии 3.1 Дисковая модель Клейна 3.2 Дисковая модель Пуанкаре 3.3 Модель полуплоскости Пуанкаре 3.4 Гиперболическая модель 4 См. также 5 Примечания 6 Литература Свойства Гиперболическое расстояние между идеальными точками и любой другой точкой или другой точкой равно бесконечности. Центры орициклов и орисфер являются идеальными точками. Два орицикла концентричны, когда они имеют один и тот же центр. Многоугольники с идеальными вершинами Идеальные треугольники Если все вершины треугольника являются идеальными точками, треугольник является идеальным треугольником. Идеальные треугольники имеют несколько интересных свойств: Все идеальные треугольники конгруэнтны. Внутренние углы идеального треугольника все равны нулю. Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр. Любой идеальный треугольник имеет площадь ${\displaystyle \pi /-K}$, где K равно (отрицательной) кривизне плоскости[4]. Идеальные четырёхугольники Если все вершины четырёхугольника являются идеальными точками, четырёхугольник является идеальным четырёхугольником. В то время как все идеальные треугольники конгруэнтны, не все четырёхугольники конгруэнтны, диагонали могут пересекаться под разными углами, что приводит к неконгруэнтности четырёхугольников, при этом: Внутренние углы идеального четырёхугольника все равны нулю. Любой идеальный четырёхугольник имеет бесконечный периметр. Любой идеальный (выпуклый без пересечений) четырёхугольник имеет площадь ${\displaystyle 2\pi /-K}$, где K равно (отрицательной) кривизне плоскости. Идеальный квадрат Идеальный четырёхугольник, у которого две диагонали перпендикулярны образует идеальный квадрат. Идеальный квадрат использовал Фердинанд Карл Швейкарт в его меморандуме, в которой он упоминает «астральную геометрию». Это была одна из первых публикаций, допускающих возможность гиперболической геометрии[5]. Идеальныеn-угольники Как n-угольники могут быть разделены на (n 2) идеальных треугольников, и площадь многоугольника будет равна площади идеального треугольника, умноженной на (n 2). Представления в моделях гиперболической геометрии В дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре гиперболической плоскости идеальными точками являются единичные окружности (для гиперболической плоскости) или единичная сфера (для пространств большей размерности), которые являются недостижимой границей гиперболического пространства. Одна и та же гиперболическая прямая в дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре будет проходить через те же две идеальные точки. Дисковая модель Клейна Если даны две различные точки p и q в открытом единичном диске, единственная прямая, соединяющая их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой ${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$ Дисковая модель Пуанкаре Если заданы две различные точки p и q в открытом единичном диске, то единственная дуга окружности, ортогональная границе и соединяющая точки, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой ${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$ Здесь расстояние измеряется вдоль (прямых) отрезков aq, ap, pb и qb. Модель полуплоскости Пуанкаре В модели полуплоскости идеальные точки — это точки на граничной оси. Существует также другая идеальная точка, которая не принадлежит модели полуплоскости (но лучи, параллельные положительной полуоси y, приближаются к ней). Гиперболическая модель В гиперболоидной модели нет никаких несобственных точек. См. также Несобственный треугольник[англ.] Бесконечно удалённая точка для других геометрий. Примечания Комацу, 1981, с. 103-104. Struve, Struve, 2010, с. 151–170. Hvidsten, 2005, с. 276–283. Thurston, 2012. Bonola, 1955, с. 75–77. Литература Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. — М.: Знание, 1981. Horst Struve, Rolf Struve. Non-euclidean geometries: the Cayley-Klein approach // Journal of Geometry. — 2010. — Т. 89, вып. 1. — ISSN 0047-2468. — doi:10.1007/s00022-010-0053-z. Dylan. 274 Curves on Surfaces, Lecture 5. — 2012.