Меню Главная Случайная статья Настройки Кольцо множеств Материал из https://ru.wikipedia.org Кольцо множеств — непустая система множеств ${\displaystyle R}$, замкнутая относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ из кольца элементы ${\displaystyle A\cap B}$ и ${\displaystyle A\triangle B}$ тоже будут лежать в кольце. С точки зрения общей алгебры кольцо множеств — ассоциативное коммутативное кольцо с операцией симметрической разности в роли сложения и пересечения в роли умножения. В роли нейтрального элемента по сложению выступает, очевидно, пустое множество. Нейтрального элемента по умножению в кольце множеств может и не быть. Например, не имеет нейтрального элемента по умножению кольцо всех ограниченных подмножеств числовой прямой[1]. Некоторые свойства: пустое множество принадлежит любому кольцу (так как ${\displaystyle \varnothing =A\triangle A}$); объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как ${\displaystyle A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B)}$; разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как ${\displaystyle A\backslash B=A\triangle (A\cap B)}$. Содержание 1 Порождённое кольцо 1.1 Определение 1.2 Продолжение меры на кольцо 2 См. также 3 Примечания Порождённое кольцо Определение Для некоторого полукольца множеств ${\displaystyle S}$ его порождённым кольцом ${\displaystyle R(S)}$ называется минимальное (по включению) кольцо, содержащее его. При этом построение такого кольца несложно: достаточно взять все объединения конечного количества непересекающихся множеств ${\displaystyle S}$, то есть: ${\displaystyle R(S)=\left\{\bigsqcup _{i=1}^{n}A_{i}\ {\bigg |}\ A_{k}\in S\right\}.}$ В данной системе пересечение двух элементов ${\displaystyle A=\textstyle {\bigsqcup _{k}}\ A_{k}}$ и ${\displaystyle B=\textstyle {\bigsqcup _{j}}\ B_{j}}$ есть ${\displaystyle \textstyle {\bigsqcup _{k}\bigsqcup _{j}}\ (A_{k}\cap B_{j})}$ — объединение элементов, которые содержатся в ${\displaystyle S}$ как в полукольце, отчего пересечение содержится в системе. Одновременно с этим в силу свойств полукольца любое ${\displaystyle A_{k}\in S}$ можно представить как ${\displaystyle \textstyle {\bigsqcup _{j}}\ (A_{k}\cap B_{j})\sqcup \textstyle {\bigsqcup _{i}}\ D_{i,k}}$, а ${\displaystyle B_{j}\in S}$ — как ${\displaystyle \textstyle {\bigsqcup _{k}}\ (A_{k}\cap B_{j})\sqcup \textstyle {\bigsqcup _{l}}\ F_{l,j}}$ Следственно, ${\displaystyle A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\sqcup (B\setminus A)=\bigsqcup _{k}\bigsqcup _{i}\ D_{i,k}\sqcup \bigsqcup _{j}\bigsqcup _{l}\ F_{l,j}\in R(S)}$, откуда вытекает замкнутость системы также относительно симметрической разности. А значит, данное построение действительно является кольцом. Более того, нетрудно видеть, что любое другое кольцо множеств ${\displaystyle S}$ в силу своих свойств также содержит все объединения данного вида, что означает: ${\displaystyle R(S)}$ действительно минимально. Продолжение меры на кольцо Меру ${\displaystyle m}$ данного полукольца ${\displaystyle S}$ можно единственным образом продолжить до меры на его порождённом кольце ${\displaystyle R(S).}$ А именно: для элемента ${\displaystyle R(S)}$, который является объединением непересекающихся множеств ${\displaystyle S}$, его мера равна сумме мер этих множеств: ${\displaystyle A=\bigsqcup _{k=1}^{n}A_{k},A_{k}\in S\ \Longrightarrow mA=\sum _{k=1}^{n}mA_{k}.}$ Некоторые свойства: функция ${\displaystyle m}$ доопределена корректно, то есть не зависит от представления в виде объединения; Пусть ${\displaystyle A=\textstyle {\bigsqcup _{k}}\ A_{k}=\textstyle {\bigsqcup _{j}}\ B_{j}}$ — два различных представления ${\displaystyle A}$ в виде объединения элементов ${\displaystyle S}$. Тогда сумма мер множеств этих представлений одинакова: ${\displaystyle \sum _{k}A_{k}=\sum _{k}\sum _{j}(A_{k}\cap B_{j})=\sum _{j}\sum _{k}(A_{k}\cap B_{j})=\sum _{j}B_{j}.}$ продолженная функция ${\displaystyle m}$ является мерой на ${\displaystyle R(S)}$;