Меню Главная Случайная статья Настройки Множество Мейера Материал из https://ru.wikipedia.org Множество Мейера или почти решётка – это относительно плотное множество точек в евклидовой плоскости или евклидовом пространстве большей размерности, такое что его разность Минковского с собой равномерно дискретна. Множества Мейера имеют несколько эквивалентных описаний и названы именем Ива Мейера, который ввёл их и начал изучать в контексте диофантовых приближений. В современное время множества Мейера больше известны как математическая модель квазикристаллов, однако работа Мейера предваряла открытие квазикристаллов более чем на десятилетие и полностью была вдохновлена вопросами теории чисел[1][2]. Содержание 1 Определение и описание 2 Примеры 3 Примечания 4 Литература Определение и описание Подмножество X метрического пространства относительно плотно, если существует число r, такое что для всех точек множества X расстояние до остальных точек X не превосходит r. Подмножество равномерно дискретно, если существует число ${\displaystyle \varepsilon }$, такое что никакие две точки X не находятся ближе друг от друга, чем на расстоянии ${\displaystyle \varepsilon }$. Когда множество относительно плотно и, одновременно, равномерно дискретно, оно называется множеством Делоне. Если X является подмножеством векторного пространства, его разность Минковского ${\displaystyle X-X}$ – это множество ${\displaystyle \{x-y\mid x,y\in X\}}$ различных пар элементов множества X[3]. С этими определениями множество Мейера можно определить как относительно плотное множество X, для которого ${\displaystyle X-X}$ равномерно дискретно. Эквивалентно, это множество Делоне, для которого ${\displaystyle X-X}$ является множеством Делоне[1], или множество Делоне X, для которого существует конечное множество F, такое что ${\displaystyle X-X\subset X+F}$[4]. Некоторые дополнительные эквивалентные описания используют множество ${\displaystyle X^{\varepsilon }=\{y\mid |x\cdot y-1|\leqslant \varepsilon {\text{ для всех }}x\in X\},}$ определённое для данного множества X и числа ${\displaystyle \varepsilon }$ и аппроксимирующее (при стремлению ${\displaystyle \varepsilon }$ к нулю) определение обратной решётки. Относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0,X^{\varepsilon }}$ относительно плотно, или, эквивалентно, Существует ${\displaystyle \varepsilon }$ (${\displaystyle 0<\varepsilon <1/2}$), для которого ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ относительно плотно[1]. Характер замкнутого по сложению подмножества векторного пространства – это функция, отображающая множество в единичную окружность на плоскости комплексных чисел таким образом, что сумма любых двух элементов отображается в произведение их образов. Множество X является гармоничным множеством[англ.], если для любого характера ${\displaystyle \chi }$ на аддитивном замыкании X и любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует непрерывный характер на всём пространстве, ${\displaystyle \varepsilon }$-аппроксимирующий ${\displaystyle \chi }$. Тогда относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда оно гармонично[1]. Примеры Множествами Мейера являются Точки любой решётки Вершины плиток ромбической мозаики Пенроуза [5]. Сумма Минковского другого множества Мейера с любым непустым конечным множеством [4] Любое относительно плотное подмножество другого множества Мейера [6]. Примечания 1 2 3 4 Moody, 1997, с. 403–441. Lagarias, 1996, с. 365–376. Муди даёт другие определения для относительной плотности и равномерной дискретности, специфичные для локально компактных групп, но замечает, что эти определения совпадают с обычными определениями для вещественных векторных пространств. 1 2 Moody, 1997, с. Section 7. Moody, 1997, с. Section 3.2. Moody, 1997, с. Corollary 6.7. Литература Robert V. Moody. Meyer sets and their duals // The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order (Waterloo, ON, 1995). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. — Т. 489. — (NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences). Lagarias J. C. Meyer's concept of quasicrystal and quasiregular sets // Communications in Mathematical Physics. — 1996. — Т. 179, вып. 2. — doi:10.1007/bf02102593.