Меню Главная Случайная статья Настройки Полиномиальное распределение Материал из https://ru.wikipedia.org Полиномиальное (мультиномиальное) распределение[1] в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай n>1 независимых испытаний случайного эксперимента с k>2 возможными исходами. Содержание 1 Определение 2 Вектор средних и матрица ковариации 3 Примечания 4 Литература Определение Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности[2]: ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k}$. Интуитивно событие ${\displaystyle \{X_{i}=j\}}$ означает, что испытание с номером ${\displaystyle i}$ привело к исходу ${\displaystyle j}$. Пусть случайная величина ${\displaystyle Y_{j}}$ равна количеству испытаний, приведших к исходу ${\displaystyle j}$: ${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k}$. Тогда распределение вектора ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top }}$ имеет функцию вероятности ${\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}p_{1}^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k}}$, где ${\displaystyle {n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!}}}$ — мультиномиальный коэффициент. Вектор средних и матрица ковариации Математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle Y_{j}}$ имеет вид[2]: ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j}}$. Диагональные элементы матрицы ковариации ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}$ являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно ${\displaystyle \sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k}$. Для остальных элементов имеем ${\displaystyle \sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j}$. Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен ${\displaystyle k-1}$. Примечания Полиномиальное распределение. Большая российская энциклопедия. 1 2 Гроот, 1974, с. 55—56. Литература М. де Гроот[англ.]. Оптимальные статистические решения = Optimal Statistical Decisions. — М.: Мир, 1974. — 492 с.