Меню Главная Случайная статья Настройки Алгебра Кэли Материал из https://ru.wikipedia.org Алгебра Кэли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {O} }$, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами. Впервые рассмотрена в 1843 году Джоном Грейвсом[англ.], приятелем[1] Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли. Число Кэли — это линейная комбинация элементов ${\displaystyle \{1,i,j,k,l,il,jl,kl\}}$, то есть октава ${\displaystyle x}$ может быть записана в форме: ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$ с вещественными коэффициентами ${\displaystyle x_{i}}$. Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн[2]. Содержание 1 Таблицы умножения 2 Свойства 3 Примечания 4 Литература Таблицы умножения Таблица умножения элементов октавы: 1 i (e1) j (e2) k (e3) l (e4) il (e5) jl (e6) kl (e7) i (e1) 1 k j il l kl jl j (e2) k 1 i jl kl l il k (e3) j i 1 kl jl il l l (e4) il jl kl 1 i j k il (e5) l kl jl i 1 k j jl (e6) kl l il j k 1 i kl (e7) jl il l k j i 1 Таблица (Кэли) умножения октонионов[3]: e0 e6 e2 e3 1 e1 e6 e7 e4 e5 e3 e2 e1 1 e7 e6 e5 e4 e4 e5 e6 e7 1 e1 e2 e3 e5 e4 e7 e6 e1 1 e3 e2 e6 e7 e4 e5 e2 e3 1 e1 e7 e6 e5 e4 e3 e2 e1 1 Иногда заменяются буквенным обозначением: Номер 1 2 3 4 5 6 7 Буквы i j k l il jl kl Замена i j k l m n o Свойства По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля. Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной. Для октониона ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$ операция сопряжения определена равенством: ${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl}$. Сопряжение удовлетворяет равенствам: ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$ и ${\displaystyle x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)).}$ Вещественная часть октониона ${\displaystyle x}$ определена равенством: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+x^{*})=x_{0}}$, мнимая часть: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x-x^{*})}$. Норма октониона ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$; ${\displaystyle \|x\|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$. Из определения нормы следует, что октонион ${\displaystyle x\neq 0}$ обратим и ${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$. Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений. Примечания Куда же спряталась самая свободная алгебра?  (неопр.) (HTML) (26 января 2003). Дата обращения: 4 октября 2009. Архивировано из оригинала 27 февраля 2012 года. Ian Stewart: The Missing Link Архивная копия от 5 мая 2010 на Wayback Machine  (недоступная ссылка с 19-05-2013 [4493 дня] — история) (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010. Статья The missing link (недоступная ссылка) на yahoo.com, русский перевод Архивная копия от 6 мая 2010 на Wayback Machine на scientific.ru. Антисимметрия по диагонали для 1 Литература Джон Баэс. Октонионы Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176. Конвей Дж., Смит Д. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях. — М.: МЦНМО, 2009. — ISBN 9785940575177.