Меню Главная Случайная статья Настройки Ортотреугольник Материал из https://ru.wikipedia.org Ортотреугольник (или ортоцентрический треугольник) — треугольник ${\displaystyle \triangle abc}$, вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Для ортотреугольника ${\displaystyle \triangle abc}$ исходный треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$ является треугольником трёх внешних биссектрис. Точка пересечения высот исходного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ называется ортоцентром и является центром вписанной окружности ортотреугольника ${\displaystyle \triangle abc}$. Содержание 1 Свойства 1.1 Свойства подобия родственных треугольников 1.2 Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников 1.3 Другие свойства 2 Литература Свойства Задача Фаньяно: ортотреугольник остроугольного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников. Окружность девяти точек: окружность, описанная вокруг ортотреугольника остроугольного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, проходит через середины сторон треугольника ${\displaystyle ABC}$ и через середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Радиус этой окружности равен половине радиуса окружности, описанной вокруг треугольника ${\displaystyle ABC}$. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника. Стороны треугольника являются тремя внешними биссектрисами его ортотреугольника, таким образом треугольник является треугольником трёх внешних биссектрис своего ортотреугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник. Если точки ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ на сторонах соответственно ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ остроугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ таковы, что ${\displaystyle \angle BA_{1}C_{1}=\angle CA_{1}B_{1}}$, ${\displaystyle \angle CB_{1}A_{1}=\angle AB_{1}C_{1}}$ и ${\displaystyle \angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}}$, то ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$ — ортотреугольник треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Ортотреугольник треугольника ${\displaystyle ABC}$ отсекает при вершинах ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольники, подобные треугольнику ${\displaystyle ABC}$ с коэффициентами подобия соответственно ${\displaystyle |cos(\angle A)|}$, ${\displaystyle |cos(\angle B)|}$, ${\displaystyle |cos(\angle C)|}$. Окружности, описанные вокруг отсекаемых ортотреугольником треугольников, проходят через ортоцентр, и их центры лежат на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр исходного треугольника с вершинами исходного треугольника. Если вокруг остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к исходному треугольнику, и стороны которого параллельны сторонам ортотреугольника исходного треугольника. Свойства подобия родственных треугольников Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81). Треугольник Жергонна ортотреугольника и исходный треугольник подобны (см. рисунок). Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны. Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны. Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников. Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности). Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника. Если точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, то получится треугольник Жергонна. Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны. Другие свойства Площадь ортотреугольника равна: ${\displaystyle S_{ort}={\frac {S}{(2abc)^{2}}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$ где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника ABC; ${\displaystyle a,b,c}$ — его соответствующие стороны. Окружность, описанная около ортотреугольника abc, для самого треугольника ABC является окружностью Эйлера (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами дополнительного треугольника для треугольника ABC. Радиусы окружности, описанной около данного треугольника ABC, проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника abc (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81). Литература Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.