Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Соты (геометрия)
Материал из https://ru.wikipedia.org

Соты — это заполнение пространства непересекающимися многогранниками, при котором не остаётся незаполненного пространства. Это обобщение математического понятия мозаика или паркет на любую размерность.

Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, что даст однородные соты в сферическом пространстве.

Содержание

Классификация

Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.

Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит тетраэдр Хилла[англ.] и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.

Однородные трёхмерные соты

Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве[1], называемых также архимедовыми сотами[англ.].

Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):
Тип Кубические соты Квазиправильные соты
Ячейки Кубические Октаэдральные и тетраэдральные
Слой


Тетраэдрально-октаэдральные соты?! и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты[англ.]* состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.

Заполняющие пространство многогранники

О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о ячеечно-транзитивных[англ.] или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках[2].

Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками:
  1. Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический шестигранник или параллелепипед);
  2. Шестиугольные призматические соты[3];
  3. Ромбододекаэдральные соты?!;
  4. Удлинённые додекаэдральные соты[англ.][4];
  5. Соты из глубокоусечённых кубов[англ.][5].

Кубические соты
Шестиугольные призматические соты[англ.]*
Ромбододекаэдр?!
Удлинённый ромбододекаэдр[англ.]
Усечённый октаэдр[англ.]
Куб
(параллелепипед) 		Шестиугольная призма Ромбододекаэдр Удлинённый додекаэдр?! Усечённый октаэдр
3 длины рёбер 3+1 длины рёбер 4 длины рёбер 4+1 длины рёбер 6 длины рёбер


Другие известные примеры:

Другие соты с двумя и более многогранниками

Иногда два[9] и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит структура Уэйра-Фелана[англ.], заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата[10].


Структура Уэйра-Фелана[англ.] (с двумя типами ячеек)

Невыпуклые трёхмерные соты

Документированные примеры редки. Можно различить два класса:
  • невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников; они включают упаковку[англ.] малые звёздчатые ромбические додекаэдры[англ.] как в кубе Ёсимото;
  • мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.


Гиперболические соты

В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут /2 и 2/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.

Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот и много однородных гиперболических сот[англ.].

Двойственность сот в трёхмерном пространстве

Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:
ячеек на вершины.
граней на рёбра.


Для правильных сот:
  • Кубические соты самодвойственны.
  • Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
  • Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
  • Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда[11].


Самодвойственные соты

Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3n2,4} самодвойственны.

См. также

Примечания
  1. Grnbaum, 1994.
  2. Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. [1] Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine Однородные заполняющие пространство призмы на основе треугольника, квадрата и шестиугольника
  4. [2] Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Однородные заполняющие пространство ромбо-шестиугольные додекаэдры
  5. [3] Архивная копия от 14 января 2006 на Wayback Machine Однородные заполняющие пространство усечённые октаэдры
  6. Voronoi Polyhedron
  7. Qian, Strahs, Schlick, 2001, с. 1843–1850.
  8. Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005, с. 358—362.
  9. Архивированная копия. Дата обращения: 16 мая 2012. Архивировано из оригинала 30 июня 2015 года. Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.
  10. Pauling, 1960.
  11. Inchbald, 1997, с. 213–219.


Литература
  • H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes[англ.]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Branko Grnbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вып. 4(2).
  • Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вып. 15.
  • O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces // Acta Cryst. — 2005. — Вып. A61.
  • G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вып. 81, July.


Ссылки
Downgrade Counter