Меню Главная Случайная статья Настройки Полярное преобразование кривой Материал из https://ru.wikipedia.org Полярное преобразование кривой (нем. Polare, от лат. polus, греч. — полюс, ось[1]; англ. polar transformation) относительно окружности — преобразование плоскости, отображающее любую кривую плоскости в кривую, которая огибает поляры точек исходной кривой относительно некоторой фиксированной окружности полярного преобразования, центр которой называется полюсом полярного преобразования[2]. Полярное преобразование кривой есть инволюция, то есть при повторном полярном преобразовании получим снова исходную кривую[2]. Например, полярное преобразование окружности может быть гиперболой[3], как показано на рисунке справа. Подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой. Инверсия кривой есть подера полярного преобразования кривой[4]. Содержание 1 Уравнение полярно преобразованной кривой 2 Примеры полярно преобразованной кривой 2.1 Полярное преобразование окружности 2.1.1 Гипербола — полярное преобразование окружности 2.1.2 Парабола — полярное преобразование окружности 2.1.3 Эллипс — полярное преобразование окружности 3 Свойства полярного преобразования кривой 3.1 Полярное преобразование кривой есть инволюция 3.2 Полярное преобразование кривой есть инверсия подеры 4 Примечания 5 Источники Уравнение полярно преобразованной кривой Имеет место следующее утверждение[5]: в комплексных числах для параметрически заданной кривой ${\displaystyle z(t)=(x(t),\;iy(t))}$, имеющей производную ${\displaystyle z'(t)=(x'(t),\;iy'(t))}$, уравнение полярно преобразованной кривой ${\displaystyle Z(t)=(X(t),\;iY(t))}$ будут таким: ${\displaystyle Z(t)={\frac {2z'(t)}{{\overline {z(t)}}z'(t)-z(t){\overline {z'(t)}}}}.}$ Рассмотрим на исходной кривой две точки ${\displaystyle z_{1}(t)}$ и ${\displaystyle z_{2}(t)}$. Их поляры соответственно ${\displaystyle Z_{1}(t)}$ и ${\displaystyle Z_{2}(t)}$ пересекаются в точке ${\displaystyle Z(t)={\frac {2(z_{2}(t)-z_{1}(t))}{{\overline {z_{1}(t)}}z_{2}(t)-z_{1}(t){\overline {z_{2}(t)}}}}.}$ Пусть точка ${\displaystyle z_{2}(t)}$ стремится к точке ${\displaystyle z_{1}(t)}$, тогда: прямая ${\displaystyle z_{1}(t)z_{2}(t)}$ стремится к своему предельному положению — касательной к исходной кривой ${\displaystyle z(t)}$; точка пересечения поляр ${\displaystyle Z_{1}(t)}$ и ${\displaystyle Z_{2}(t)}$ стремится к предельной точке, которая по определению есть точка полярно преобразованной исходной кривой. Пусть теперь бесконечно малая величина ${\displaystyle z_{2}(t)-z_{1}(t)=dz_{1}(t)}$, тогда ${\displaystyle {\overline {z_{1}(t)}}z_{2}(t)-z_{1}(t){\overline {z_{2}(t)}}=}$ ${\displaystyle {}={\overline {z_{1}(t)}}(z_{1}(t)+dz_{1}(t))-z_{1}(t)({\overline {z_{1}(t)}}+d{\overline {z_{1}(t)}})=}$ ${\displaystyle {}={\overline {z_{1}(t)}}dz_{1}(t)-z_{1}(t)d{\overline {z(t)}}.}$ Отсюда получаем уравнение точки полярно преобразованной кривой ${\displaystyle Z(t)={\frac {2dz_{1}(t)}{{\overline {z_{1}(t)}}dz_{1}(t)-z_{1}(t)d{\overline {z(t)}}}}=}$ ${\displaystyle {}={\frac {2z_{1}'(t)}{{\overline {z_{1}(t)}}z_{1}'(t)-z_{1}(t){\overline {z_{1}'(t)}}}}.}$ Примеры полярно преобразованной кривой Полярное преобразование окружности Полярное преобразование окружности есть коника. Поскольку полярное преобразование кривой есть инволюция, то полярное преобразование коники есть окружность. Найдём уравнение полярно преобразованной окружности. Уравнение окружности в комплексном параметрическом виде ${\displaystyle z=z_{0}+Re^{it},}$ где ${\displaystyle z_{0}}$ — постоянный комплексный центр окружности; ${\displaystyle R}$ — постоянный вещественный радиус окружности; ${\displaystyle t}$ — вещественный параметр. Получаем: ${\displaystyle z'=Rie^{it},}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=z_{0}+Re^{-it},}$ ${\displaystyle {\bar {z}}'=-Rie^{-it},}$ и уравнение полярно преобразованной окружности (относительно единичной окружности полярного преобразования с центром в начале координат) ${\displaystyle Z(t)={\frac {2z'(t)}{{\overline {z(t)}}z'(t)-z(t){\overline {z'(t)}}}}=}$ ${\displaystyle {}={\frac {2Rie^{it}}{(z_{0}+Re^{-it})Rie^{it}+(z_{0}+Re^{it})Rie^{-it}}}=}$ ${\displaystyle {}={\frac {2e^{it}}{(z_{0}+Re^{-it})e^{it}+(z_{0}+Re^{it})e^{-it}}}=}$ ${\displaystyle {}={\frac {2e^{it}}{z_{0}(e^{it}+e^{-it})+2Re^{-it}e^{it}}}=}$ ${\displaystyle {}={\frac {e^{it}}{z_{0}\cos t+R}}}$ есть уравнение коники:[3]. гиперболы, если ${\displaystyle |z_{0}|>R}$, то есть полюс полярного преобразования находится вне исходной окружности; параболы, если ${\displaystyle |z_{0}|=R}$, то есть полюс полярного преобразования лежит на исходной окружности; эллипса, если ${\displaystyle |z_{0}|<R}$, то есть полюс полярного преобразования внутри исходной окружности; окружности, если ${\displaystyle |z_{0}|=0}$, то есть полюс полярного преобразования есть центр исходной окружности. Полярное преобразование чёрной окружности ${\displaystyle (x-8)^{2}+y^{2}=4}$ относительно фиолетовой окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=16}$ есть красная гипербола ${\displaystyle \left({\frac {15}{8}}\right)^{2}\left(x-{\frac {32}{15}}\right)^{2}-{\frac {15}{64}}y^{2}=1}$ с фокусом в начале координат, как показано на рисунке справа вместе с двумя подерными преобразованиями и двумя инверсиями относительно начала координат и фиолетовой окружности, где синяя улитка Паскаля ${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-8x\right)^{2}=4\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ — подера чёрной окружности, а зелёная окружность ${\displaystyle \left(x-{\frac {32}{15}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {8}{15}}\right)^{2}}$ — подера красной гиперболы, причём инверсией получаются друг из друга: чёрная и зелёная окружности; улитка Паскаля и гипербола.