Меню Главная Случайная статья Настройки Поток Риччи Материал из https://ru.wikipedia.org Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии. Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности. Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро. Содержание 1 Уравнение 2 Свойства 2.1 Изменение геометрических характеристик 2.1.1 Размерность 3 3 История 4 Примечания 5 Литература Уравнение Уравнение потока Риччи имеет вид: ${\displaystyle \partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.}$ где ${\displaystyle g_{t}}$ обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра ${\displaystyle t}$), и ${\displaystyle \mathrm {Rc} _{t}}$ — её тензор Риччи. Свойства Формально говоря, система уравнений ${\displaystyle R}$, задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений ${\displaystyle R'}$, предложенная Детурком, такая, что если ${\displaystyle g_{0}}$ риманова метрика на компактном многообразии ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle g_{t}}$, ${\displaystyle g'_{t}}$ — решения систем ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle R'}$, то ${\displaystyle (M,\;g_{t})}$ изометрично ${\displaystyle (M,\;g_{t}')}$ для всех ${\displaystyle t}$. Эта конструкция существенно упростила доказательство существования решения, она называется «трюком Детурка». Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при ${\displaystyle t=0}$, можно получить решения лишь в одну сторону по ${\displaystyle t}$, а именно ${\displaystyle t\geqslant 0}$. В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при ${\displaystyle t\to \infty }$. Решение продолжается на максимальный интервал ${\displaystyle [0,\;T)}$. В случае если ${\displaystyle T}$ конечно, при приближении к ${\displaystyle T}$ кривизна многообразия идёт к бесконечности, и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона. Псевдолокальность — если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи у меньшей окрестности. Изменение геометрических характеристик Для объёма ${\displaystyle \mathrm {vol} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ верно соотношение ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).}$ Для скалярной кривизны ${\displaystyle \mathrm {R} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ верно соотношение ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$ где ${\displaystyle |\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$ определяется как ${\displaystyle \sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j}))^{2}}$ для ортонормированного репера ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в точке. В частности, согласно принципу максимума, поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны. Более того, нижняя грань скалярной кривизны не убывает. Для каждого ${\displaystyle g_{0}}$-ортонормированного репера ${\displaystyle \{e^{i}\}}$ в точке ${\displaystyle x\in M}$ существует так называемый сопутствующий ${\displaystyle g_{t}}$-ортонормированный репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$. Для тензора кривизны ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$, записанного в этом базисе, верно соотношение ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {Rm} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _{t},\mathrm {Rm} _{t}),}$ где ${\displaystyle Q}$ — определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них. Билинейная квадратичная форма ${\displaystyle Q}$ определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны ${\displaystyle x}$ приписывается другой тензор кривизны ${\displaystyle v_{x}=Q(x,x)}$. Решения ОДУ ${\displaystyle {\dot {x}}=v_{x}}$ играют важную роль в теории потоков Риччи. Выпуклые множества ${\displaystyle K}$ в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ ${\displaystyle x(0)\in K}$, то ${\displaystyle x(t)\in K}$ при ${\displaystyle t\geq 0}$, называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому ${\displaystyle K}$, то тоже верно и для метрик, получаемых из неё потоком Риччи. Рассуждения такого сорта называются «принципом максимума» для потока Риччи. К инвариантным множествам относятся Тензоры кривизны с положительной скалярной кривизной Тензоры кривизны с положительным оператором кривизны В трёхмерном случае, тензоры кривизны с положительной кривизной Риччи В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$ можно подобрать репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$, в котором ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$ диагонализуется в базисе ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}}$, ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3}}$, ${\displaystyle e_{3}\wedge e_{1}}$, скажем, ${\displaystyle \mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix}}.}$ Тогда ${\displaystyle Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.}$ История Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x годов. С помощью потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере. Используя потоки Риччи в своих статьях[1], опубликованных в 2002-2003 годах, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.[2] Примечания См. статьи Григория Перельмана в списке литературы. http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf Архивная копия от 21 января 2021 на Wayback Machine «This conjecture was formulated by Henri Poincar [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman’s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.». Литература Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982. Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986. Perelman, Grisha (11 ноября 2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math.DG/0211159. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка) Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008. J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.