Меню Главная Случайная статья Настройки Гипотеза Пуанкаре Материал из https://ru.wikipedia.org Гипотеза Пуанкаре — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2025 год) решённой задачей тысячелетия. Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое ${\displaystyle n}$-мерное многообразие гомотопически эквивалентно ${\displaystyle n}$-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Впервые прозвучала в работах Стивена Смейла, доказавшего её в 1961 году для всех случаев, кроме трёхмерного и четырёхмерного, последний из которых доказал в 1982 году Майкл Фридман. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при ${\displaystyle n=3}$, причём к концу XX века именно этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом, доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре. Содержание 1 Схема доказательства 2 История 2.1 Признание и оценки 2.2 Отражение в средствах массовой информации 3 Примечания 4 Литература 5 Ссылки Схема доказательства Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению ${\displaystyle (0,1)\times S^{2}}$), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии ${\displaystyle M}$ и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие ${\displaystyle M}$ можно представить как набор сферических пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$, соединённых друг с другом трубками ${\displaystyle [0,1]\times S^{2}}$. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что ${\displaystyle M}$ диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$ и более того все ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ тривиальны. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является связной суммой набора сфер, то есть сферой. История В 1900 году Анри Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий. Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда. Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для ${\displaystyle n\geqslant 5}$ получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом[англ.] (для ${\displaystyle n\geqslant 5}$, его доказательство было распространено на случаи ${\displaystyle n=5,6}$ Зиманом). Доказательство значительно более трудного случая ${\displaystyle n=4}$ было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях. Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Р. С. Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи. Признание и оценки В 1986 году Майкл Фридман стал Филдсовским лауреатом. В 2006 году Григорий Перельман стал Филдсовским лауреатом (отказался). В 2010 году математический институт Клэя присудил[2] Перельману Премию тысячелетия (отказался). Отражение в средствах массовой информации В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года»[3]. Это первая работа по математике, заслужившая такое звание[4]. В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую[5] статью «Многообразная судьба», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре[6]. Примечания И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков Архивная копия от 7 января 2007 на Wayback Machine 03/08/06, elementy.ru Prize for Resolution of the Poincar Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Архивная копия от 8 сентября 2017 на Wayback Machine (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя. Dana Mackenzie. BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincar Conjecture—Proved (англ.) // Science : journal. — 2006. — Vol. 314, no. 5807. — P. 1848—1849. — doi:10.1126/science.314.5807.1848. Архивировано 2 января 2007 года. Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006. В частности, «Manifold Destiny» была включена в книгу «The Best American Science Writing» за 2007 год. Sylvia Nasar, David Gruber. Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it (англ.) // The New Yorker : magazine. — Cond Nast, 2006. — No. August 21. Архивировано из оригинала 3 сентября 2012 года. Русский перевод: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет Архивная копия от 16 февраля 2008 на Wayback Machine». Литература Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3. Бессьер Л., Бессон Ж., Буало М. Доказательство гипотезы Пуанкаре (по работам Г. Перельмана) Архивная копия от 4 августа 2020 на Wayback Machine // Математическое просвещение. — 2019. — Сер. 3. — Вып. 24. — С. 53—69. Ссылки Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications (англ.) // ArXiv.org — 2002. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0211159 Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0303109 Perelman G. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0307245 Milnor J. The Poincar Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.) С. Николенко. Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1—2. Архивировано 18 июня 2017 года. Morgan J., Tian G. Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.) // ArXiv.org — 2006. — ISSN 2331-8422 — arXiv:math/0607607 B. Kleiner, J. Lott. Notes on Perelman’s papers (англ.) Terence Tao''. Perelman’s proof of the Poincar conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)