Меню Главная Случайная статья Настройки Правильный косой многогранник Материал из https://ru.wikipedia.org Правильный косой многогранник — это обобщение множества правильных многогранников, которое включает возможность непланарных граней или вершинных фигур. Коксетер рассматривал косые вершинные фигуры, которые создавали новые четырёхмерные правильные многогранники, а много позднее Бранко Грюнбаум рассматривал правильные косые грани.[1] Содержание 1 Описание правильных косых многогранников 2 История 3 Конечные правильные косые многогранники в 4–мерном пространстве 4 См. также 5 Примечания 6 Литература Описание правильных косых многогранников Правильные косые многогранники не являются многогранниками в привычном смысле. Как Коксетер пишет в статье THE REGULAR SPONGES, OR SKEW POLYHEDRA (Правильные губки или косые многогранники), «Заполнение гранями отличается от конечных многогранников тем, что для них понятия внутри и снаружи совершено одно и то же. Такие заполнения помогают думать о многограннике как о поверхности, а не как о теле. Чтобы получить новые многогранники, нужно изловчиться, чтобы у вершины можно было разместить больше многоугольников, чем это разрешается кристаллографическими ограничениями (сумма углов при вершине меньше ${\displaystyle 2\pi }$)». Чтобы достичь такого эффекта, Петри разрешил рёбрам идти в другую сторону от плоскости, что приводит к губкам, то есть поверхностям с незакрытыми дырами (дыра одного многогранника закрывается дырой другого, так что все они образуют бесконечную губку)[2]. История Согласно Коксетеру в 1926 Джон Флиндерс Петри[англ.] обобщил концепцию пространственных многоугольников (непланарных многоугольников) [3] в правильные косые многогранники. Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n} для этих фигур, где {l,m} означает вершинную фигуру, m l-угольников вокруг вершины, а n — n-угольные дыры. Их вершинные фигуры являются пространственными многоугольниками, пробегающими зигзагом между двумя плоскостями. Правильные косые многогранники, представленные символом {l,m|n}, удовлетворяют равенству: 2*cos(/l)*cos(/m)=cos(/n) Первое множество {l, m | n} представляет пять выпуклых платоновых тел и одно невыпуклое тело Кеплера — Пуансо: {l, m | n} Граней Рёбер Вершин p Многогранник Порядок симметрии {3,3| 3} = {3,3} 4 6 4 0 Тетраэдр 12 {3,4| 4} = {3,4} 8 12 6 0 Октаэдр 24 {4,3| 4} = {4,3} 6 12 8 0 Куб 24 {3,5| 5} = {3,5} 20 30 12 0 Икосаэдр 60 {5,3| 5} = {5,3} 12 30 20 0 Додекаэдр 60 {5,5| 3} = {5,5/2} 12 30 12 4 Большой додекаэдр 60 Конечные правильные косые многогранники в 4–мерном пространстве A4 проекции плоскости Коксетера {4, 6 | 3} {6, 4 | 3} Рансинированный 5-ячейник[англ.] (60 рёбер, 20 вершин) Глубокоусечённый 5-ячейник[англ.] (60 рёбер, 30 вершин) F4 проекции плоскости Коксетера {4, 8 | 3} {8, 4 | 3} Рансинированный 24-ячейник[англ.] (576 рёбер, 144 вершин) Глубокоусечённый 24-ячейник[англ.] (576 рёбер, 288 вершин) Некоторые из 4-мерных правильных косых многогранников укладываются в однородные многогранники, как показано на проекциях. Коксетер также перечислил большое число конечных правильных многогранников в своей статье "regular skew polyhedra in three and four dimensions, and their topological analogues" (правильные косые многогранники в трёхмерном и четырёхмерном пространствах и их топологические аналоги). Подобно как бесконечные косые многогранники представляют поверхность многообразия между ячейками выпуклых однородных сот[англ.], конечные виды представляют поверхности многообразия в ячейках однородного 4-мерного многогранника[англ.]. Многогранники вида {2p, 2q | r} связаны с группой Коксетера симметрии [(p,r,q,r)], которая сводится к линейной [r,p,r] при q, равном 2. Коксетер даёт этой симметрии обозначение [[(p,r,q,r)]+], которая, по его словам, изоморфна его абстрактной группе (2p,2q|2,r). Связанные соты имеют расширенную симметрию [[(p,r,q,r) ]] [4]. {2p,4|r} представляется {2p} гранями глубокоусечённого[англ.] {r,p,r} однородного 4-мерного многогранника[англ.], а {4,2p|r} представляется квадратными гранями струганного[англ.] {r,p,r} (рансифицировнного). {4,4|n} образует n-n дуопризму, и, в частности, {4,4|4} укладывается в {4}x{4} тессеракт. {4,4| n} представляют квадратные грани дуопризм, с n-угольными гранями в качестве дыр и представляет тор Клиффорда и аппроксимацию двойного цилиндра {4,4|6} имеет 36 квадратных граней и в перспективной проекции выглядит как квадраты, выбранные в 6,6 двойном цилиндре. Кольцо из 60 треугольников образует правильный косой многогранник в подмножестве граней 600-ячейника. Чётные упорядоченные решения {l, m | n} Граней Рёбер Вершин p Структура Симметрия[англ.] Порядок Связанный однородный 4-мерный многогранник[англ.] {4,4| 3} 9 18 9 1 D3xD3 [[3,2,3]+] 9 3-3 дуопризма {4,4| 4} 16 32 16 1 D4xD4 [[4,2,4]+] 16 4-4 дуопризма или тессеракт {4,4| 5} 25 50 25 1 D5xD5 [[5,2,5]+] 25 5-5 дуопризма {4,4| 6} 36 72 36 1 D6xD6 [[6,2,6]+] 36 6-6 дуопризма {4,4| n} n2 2n2 n2 1 DnxDn [[n,2,n]+] n2 n-n дуопризма {4,6| 3} 30 60 20 6 S5 [[3,3,3]+] 60 струганый 5-ячейник[англ.] {6,4| 3} 20 60 30 6 S5 [[3,3,3]+] 60 глубокоусечённый 5-ячейник[англ.] {4,8| 3} 288 576 144 73 [[3,4,3]+] 576 струганый 24-ячейник[англ.] {8,4| 3} 144 576 288 73 [[3,4,3]+] 576 глубокоусечённый 24-ячейник[англ.] Пентаграммные решения {l, m | n} Граней Рёбер Вершин p Структура Симметрия[англ.] Порядок Связанный однородный 4-мерный многогранник[англ.] {4,5| 5} 90 180 72 10 A6 [[5/2,5,5/2]+] 360 Струганый великий звёздчатый 120-ячейник[англ.] {5,4| 5} 72 180 90 10 A6 [[5/2,5,5/2]+] 360 Глубокоусечённый великий звёздчатый 120-ячейник[англ.] {l, m | n} Граней Рёбер Вершин p Структура Порядок {4,5| 4} 40 80 32 5 ? 160 {5,4| 4} 32 80 40 5 ? 160 {4,7| 3} 42 84 24 10 LF(2,7) 168 {7,4| 3} 24 84 42 10 LF(2,7) 168 {5,5| 4} 72 180 72 19 A6 360 {6,7| 3} 182 546 156 105 LF(2,13) 1092 {7,6| 3} 156 546 182 105 LF(2,13) 1092 {7,7| 3} 156 546 156 118 LF(2,13) 1092 {4,9| 3} 612 1224 272 171 LF(2,17) 2448 {9,4| 3} 272 1224 612 171 LF(2,17) 2448 {7,8| 3} 1536 5376 1344 1249 ? 10752 {8,7| 3} 1344 5376 1536 1249 ? 10752 Последнее множество основано на дальнейших расширенных форм Коксетера {q1,m|q2,q3...} или с q2 неспецифицированным: {l, m |, q}. {l, m |, q} Граней Рёбер Вершин p Структура Порядок {3,6|,q} 2q2 3q2 q2 1 ? 2q2 {3,2q|,3} 2q2 3q2 3q (q-1)*(q-2)/2 ? 2q2 {3,7|,4} 56 84 24 3 LF(2,7) 168 {3,8|,4} 112 168 42 8 PGL(2,7) 336 {4,6|,3} 84 168 56 15 PGL(2,7) 336 {3,7|,6} 364 546 156 14 LF(2,13) 1092 {3,7|,7} 364 546 156 14 LF(2,13) 1092 {3,8|,5} 720 1080 270 46 ? 2160 {3,10|,4} 720 1080 216 73 ? 2160 {4,6|,2} 12 24 8 3 S4S2 48 {5,6|,2} 24 60 20 9 A5S2 120 {3,11|,4} 2024 3036 552 231 LF(2,23) 6072 {3,7|,8} 3584 5376 1536 129 ? 10752 {3,9|,5} 12180 18270 4060 1016 LF(2,29)A3 36540 См. также Пространственный многоугольник Косой бесконечногранник[англ.] Примечания McMullen, Schulte, 2002, p. 7, 17. Coxeter, 1995, с. 20-22. В английской литературе — skew polygon, буквально — косой многоугольник. В русской литературе прижился термин пространственный многоугольник, а термин косой многоугольник соответствует термину skew polyhedron (косой многогранник). В данной статье используются оба термина косой многоугольник и косой многогранник как синонимы. Coxeter, 1985. Литература Peter McMullen. Four-Dimensional Regular Polyhedra // Discrete & Computational Geometry September. — 2007. — Т. 38, вып. 2. — С. 355-387. H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — Dover Publications, Inc., 1973.. См., в частности, таблицы I и II: Regular polytopes and honeycombs, стр. 294–296. C. W. L. Garner. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space // Canad. J. Math.. — 1967. — Т. 19. — С. 1179-1186. E. Schulte, J.M. Wills. On Coxeter's regular skew polyhedral // Discrete Mathematics. — 1986. — Т. 60, June–July. — С. 253–262.