Меню Главная Случайная статья Настройки Символ Шлефли Материал из https://ru.wikipedia.org Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, описавшего все правильные многогранники в евклидовом пространстве произвольной размерности. Содержание 1 Построение 2 Примеры 3 См. также 4 Литература Построение Символ Шлефли для правильного многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ размерности ${\displaystyle n}$ записывается в виде ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{n-1}\}}$. Он индуктивно определяется следующим образом: Определим ${\displaystyle p_{1}}$как число сторон двумерной грани многогранника ${\displaystyle \Gamma }$. Выберем одну из вершин ${\displaystyle P}$ многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ и рассмотрим все вершины ${\displaystyle Q_{1},\dots ,Q_{k}}$, соединённые с ней ребром. Заметим, что вершины ${\displaystyle Q_{1},\dots ,Q_{k}}$ лежат на гиперплоскости ${\displaystyle H}$, ортогональной прямой, соединяющей центр многогранника с ${\displaystyle P}$. Сечение многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ с гиперплоскостью ${\displaystyle H}$ представляет собой правильный многогранник ${\displaystyle \Gamma '}$ размерности ${\displaystyle n-1}$. Поскольку все вершины ${\displaystyle \Gamma }$ равноправны, тип этого многогранника не зависит от выбора вершины ${\displaystyle P}$. Определим ${\displaystyle p_{2}}$ как число сторон двумерной грани многогранника ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }}$. Продолжая действовать таким образом до тех пор, пока получающееся сечение имеет двумерную грань, мы получим символ Шлефли многогранника ${\displaystyle \Gamma }$. Заметим, что символ Шлефли ${\displaystyle n}$-мерного многогранника состоит из ${\displaystyle n-1}$ целого числа, каждое из которых не меньше 3. Примеры Размерность пространства Символ Шлефли Многогранник ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{\}}$ Отрезок ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{3\}}$ Правильный треугольник ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{4\}}$ Правильный четырёхугольник ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{5\}}$ Правильный пятиугольник ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{6\}}$ Правильный шестиугольник ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{n\}}$ Правильный n-угольник ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \{3,3\}}$ Правильный тетраэдр ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \{4,3\}}$ Куб ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \{3,4\}}$ Октаэдр ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \{3,5\}}$ Правильный икосаэдр ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \{5,3\}}$ Правильный додекаэдр ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \{3,3,3\}}$ Пятиячейник ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \{4,3,3\}}$ Тессеракт ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \{3,3,4\}}$ Шестнадцатиячейник ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \{3,4,3\}}$ Двадцатичетырёхъячейник ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \{5,3,3\}}$ Стодвадцатиячейник ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \{3,3,5\}}$ Шестисотячейник ${\displaystyle \geqslant 5}$ ${\displaystyle \{3,...,3\}}$ Симплекс ${\displaystyle \geqslant 5}$ ${\displaystyle \{3,...,3,4\}}$ Гипероктаэдр ${\displaystyle \geqslant 5}$ ${\displaystyle \{4,3,...,3\}}$ Гиперкуб См. также Формула Шлефли Эйлерова характеристика Правильные N-мерные многогранники Литература Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Архивная копия от 31 марта 2020 на Wayback Machine