Меню Главная Случайная статья Настройки Пример Помпею Материал из https://ru.wikipedia.org Пример Помпею — пример дифференцируемой функции, производная которой (производная Помпею) обращается в ноль на плотном множестве. В частности, производная Помпею разрывна в любой точке, где она не равна 0. Содержание 1 История 2 Построение 3 Свойства 4 Литература История Вопрос о том, могут ли существовать такие функции, не являющиеся тождественно нулевыми, возник в контексте исследований функциональной дифференцируемости и интегрируемости в начале 1900-х годов. На этот вопрос утвердительно ответил Димитри Помпейу, построив явный пример. Построение Пусть ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ обозначает вещественный кубический корень вещественного числа ${\displaystyle x}$. Выберем перечисление рациональных чисел в единичном интервале ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots }$ и положительные числа ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ такие, что ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots <\infty }$ Рассмотрим функцию ${\displaystyle g(x):=a_{0}+\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{x-q_{j}}}.}$ Для любого x из ${\displaystyle g'(x):={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{j}}{\sqrt[{3}]{(x-q_{j})^{2}}}}>0,}$ в любой точке, где сумма конечна; кроме того, во всех остальных точках, в частности, в любом из Поскольку образ ${\displaystyle g(0)=a_{0}-\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{q_{j}}},}$ с точностью до выбора По теореме о дифференцировании обратной функции обратная к ней функция Свойства Поскольку множество нулей производной любой всюду дифференцируемой функции является G-дельта-множеством, для любой функции Помпею это множество является плотным G-дельта-множеством. В частности, по теореме Бэра оно несчетно. Линейная комбинация ${\displaystyle a\cdot f+b\cdot g}$ функций Помпею имеет производную и обращается в нуль на множестве ${\displaystyle \{\,x\in \mathbb {R} \mid f'(x)=g'(x)=0\,\}}$, которое является плотным G-дельта-множеством. Таким образом, функции Помпею образуют векторное пространство. Предельная функция равномерно сходящейся последовательности производных Помпею является производной Помпею. Действительно, это производная по теореме о пределе под знаком производной. Более того, она обращается в нуль на пересечении нулевых множеств функций последовательности: поскольку это плотные G-дельта-множества, нулевое множество предельной функции также плотно. Как следствие, класс E всех ограниченных производных Помпею на интервале [a, b] является замкнутым линейным подпространством банахова пространства всех ограниченных функций относительно равномерного расстояния (следовательно, это банахово пространство). Вышеупомянутая конструкция Помпею положительна, что является редким свойством: теорема Вейля утверждает, что в общем случае производная Помпейу принимает как положительные, так и отрицательные значения в плотных множествах, в точном смысле, что такие функции составляют плотное G-дельта-множество банахова пространство E. Литература Pompeiu, Dimitrie (1907). Sur les fonctions drives. Mathematische Annalen (фр.). 63 (3): 326–332. doi:10.1007/BF01449201. Дата обращения: 12 октября 2021. Andrew M. Bruckner, "Differentiation of real functions"; CRM Monograph series, Montreal (1994).