Меню Главная Случайная статья Настройки Произведение Кронекера Материал из https://ru.wikipedia.org Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается ${\displaystyle \otimes }$. Результатом является блочная матрица. Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера. Содержание 1 Определение 1.1 Пример 2 Билинейность, ассоциативность и некоммутативность 3 Транспонирование 4 Смешанное произведение 5 Сумма и экспонента Кронекера 6 Спектр, след и определитель 7 Сингулярное разложение и ранг 8 История 9 Блочные версии произведения Кронекера 9.1 Произведение Трейси-Сингха 9.2 Произведение Хатри-Рао 10 Примечания 11 Литература Определение Если A — матрица размера mn, B — матрица размера pq, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mpnq ${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$ В развёрнутом виде ${\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}$ Если A и B представляют собой линейные преобразования V1 W1 и V2 W2, соответственно, то A B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1 V2 W1 W2. Пример ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\cdot 5\\3\cdot 6&3\cdot 7&4\cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}}$. Билинейность, ассоциативность и некоммутативность Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и ассоциативным: ${\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,}$ ${\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,}$ ${\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}$ ${\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),}$ где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр. Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что ${\displaystyle A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.}$ Если A и B квадратные матрицы, тогда A ${\displaystyle \otimes }$ B и B ${\displaystyle \otimes }$ A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT. Транспонирование Операции транспонирования и эрмитова сопряжения можно переставлять с произведением Кронекера: ${\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T},}$ ${\displaystyle (A\otimes B)^{H}=A^{H}\otimes B^{H}.}$ Смешанное произведение Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда ${\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.}$ A ${\displaystyle \otimes }$ B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда ${\displaystyle (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.}$ ${\displaystyle (A\otimes B)\odot (C\otimes D)=(A\odot C)\otimes (B\odot D)}$, где ${\displaystyle \odot }$ - произведение Адамара ${\displaystyle A\otimes B=(I\otimes B)(A\otimes I)}$, где ${\displaystyle I}$ - единичная матрица. Сумма и экспонента Кронекера Пусть A — матрица размера nn, B — матрица размера mm и ${\displaystyle E_{k}}$ — единичная матрица размера kk. Тогда можно определить сумму Кронекера ${\displaystyle \oplus }$ как ${\displaystyle A\oplus B=A\otimes E_{m}+E_{n}\otimes B.}$ Также справедливо ${\displaystyle e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.}$ Спектр, след и определитель Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если 1, …, n — собственные значения матрицы A и 1, …, q собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A ${\displaystyle \otimes }$ B являются ${\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.}$ След и определитель произведения Кронекера равны ${\displaystyle \operatorname {tr} (A\otimes B)=\operatorname {tr} (A)\,\operatorname {tr} (B),}$ ${\displaystyle \det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.}$ Сингулярное разложение и ранг Если матрица A имеет rA ненулевых сингулярных значений: ${\displaystyle \sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{A}.}$ Ненулевые сингулярные значения матрицы B: ${\displaystyle \sigma _{B,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{B}.}$ Тогда произведение Кронекера A ${\displaystyle \otimes }$ B имеет rArB ненулевых сингулярных значений ${\displaystyle \sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{A},\,j=1,\ldots ,r_{B}.}$ Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений, ${\displaystyle \operatorname {rank} (A\otimes B)=\operatorname {rank} (A)\,\operatorname {rank} (B).}$ История Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса. Блочные версии произведения Кронекера В случае блочных матриц могут использоваться матричные операции, связанные c произведением Кронекера и отличающиеся порядком соответствующего перемножения блоков. Таковыми являются произведения Трейси – Сингха (англ. Tracy–Singh product) и произведение Хатри — Рао. Произведение Трейси-Сингха Указанная операция перемножения блочных матриц заключается в том, что каждый блок левой матрицы умножается последовательно на блоки правой матрицы. При этом формируемая структура результирующей матрицы отличается от характерной для произведения Кронекера. Произведение Трейси – Сингха определяется как[1][2] ${\displaystyle \mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\odot \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}}$ Например: ${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\odot \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\odot \mathbf {B} \end{array}}\right]={}&\left[{\begin{array}{c | c | c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}}$ Произведение Хатри-Рао Данный вариант умножения определён для матриц с одинаковой блочной структурой. Он предусматривает, что операция кронекеровского произведения выполняется поблочно, в пределах одноимённых матричных блоков по аналогии с поэлементным произведением Адамара, только при этом в качестве элементов фигурируют блоки матриц, а для умножения блоков используется кронекеровское произведение. Примечания Tracy, D. S.; Singh, R. P. (1972). A New Matrix Product and Its Applications in Matrix Differentiation. Statistica Neerlandica. 26 (4): 143–157. doi:10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x. Литература Хорн Р. Матричный анализ: Пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989.– 655 с.