Меню Главная Случайная статья Настройки Процесс Пуассона Материал из https://ru.wikipedia.org Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс[1] — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале ${\displaystyle A}$ не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с ${\displaystyle A}$, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью. Содержание 1 Классификация 1.1 Простой процесс Пуассона 1.2 Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс 2 Свойства 3 Критерий 4 Информационные свойства[3] 4.1 Центральная предельная теорема 5 Применение 6 Литература 7 Примечания 8 См. также Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией ${\displaystyle \Lambda (A)}$, равной приращению в интервале ${\displaystyle A}$ некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра ${\displaystyle \lambda (t)}$ — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале ${\displaystyle [t,t+dt]}$ равна ${\displaystyle \lambda (t)dt}$. Если ${\displaystyle A}$ — отрезок ${\displaystyle [a,b]}$, то ${\displaystyle \Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt}$ Поток Пуассона, для которого ${\displaystyle \lambda (t)}$ равна постоянной ${\displaystyle \lambda }$, называется простейшим потоком с параметром ${\displaystyle \lambda }$.[2] Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру ${\displaystyle \Lambda (A)}$. Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью ${\displaystyle \lambda }$. При этом ${\displaystyle \Lambda (A)}$ равна объему области ${\displaystyle A}$, умноженному на ${\displaystyle \lambda }$. Классификация Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый). Простой процесс Пуассона Пусть ${\displaystyle \lambda >0}$. Случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$ называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью ${\displaystyle \lambda }$, если ${\displaystyle X_{0}=0}$ почти достоверное. ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ — процесс с независимыми приращениями. ${\displaystyle X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (t-s))}$ для любых ${\displaystyle 0\leq s<t<\infty }$, где ${\displaystyle \mathrm {P} (\lambda (t-s))}$ обозначает распределение Пуассона с параметром ${\displaystyle \lambda (t-s)}$. Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс Пусть ${\displaystyle \xi _{1},...,\xi _{n}}$ последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин. Пусть ${\displaystyle N(t)}$ — простой пуассоновский процесс с интенсивностью ${\displaystyle \lambda }$, не зависящий от последовательности ${\displaystyle \xi _{1},...,\xi _{n}}$. Обозначим через ${\displaystyle S_{k}}$ сумму первых k элементов введённой последовательности. Тогда определим сложный Пуассоновский процесс ${\displaystyle \{Y_{t}\}}$ как ${\displaystyle S_{N(t)}}$ . Свойства Времена между моментами скачков независимы и имеют экспоненциальное распределение ${\displaystyle {\text{Exp}}(\lambda )}$. Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots }$, то есть момент ${\displaystyle k}$-го скачка имеет гамма-распределение ${\displaystyle {\text{}}(\lambda ,k)}$. Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, непрерывные справа, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)}$ при ${\displaystyle h\to 0}$, где ${\displaystyle o(h)}$ обозначает «о малое». Критерий Для того чтобы некоторый случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий: ${\displaystyle X_{0}=0}$. Процесс имеет независимые приращения. Процесс однородный. Процесс принимает целые неотрицательные значения. ${\displaystyle P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)}$ при ${\displaystyle h\searrow 0}$. Информационные свойства[3] Пусть ${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}}$ — моменты скачков процесса Пуассона. ${\displaystyle T=\tau _{j}-\tau _{j-1}}$. Зависит ли ${\displaystyle T}$ от предыдущей части траектории? ${\displaystyle \mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})}$ — ? Пусть ${\displaystyle u(t)=\mathbb {P} (T>t)}$. ${\displaystyle u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)}}={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)}}}$ ${\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s)}$ ${\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}}$. Распределение длин промежутков времени между скачками обладает свойством отсутствия памяти оно показательно. Рассмотрим отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ на временной оси. ${\displaystyle X(b)-X(a)=n}$ — число скачков на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Условное распределение моментов скачков ${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n}$ совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины ${\displaystyle n}$ из ${\displaystyle R[a,b]}$. Плотность этого распределения ${\displaystyle f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (a\leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)}$ Центральная предельная теорема Теорема. ${\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \infty }{\overset {x}{\rightrightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du}$ Скорость сходимости: ${\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}<x{\biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0}}{\sqrt {\lambda t}}}}$, где ${\displaystyle C_{0}}$ — константа Берри-Эссеена. Применение Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Также возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности. Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчётом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчётам. Литература Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с. Примечания Шестаков Олег Владимирович. Конспект лекций по предмету "Вероятностные модели", Лекция 7  (рус.). Дата обращения: 9 сентября 2022. Архивировано 9 сентября 2022 года. См. также Поток однородных событий Теория массового обслуживания