Меню Главная Случайная статья Настройки Радиан Материал из https://ru.wikipedia.org Радиан (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — центральный угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна радиусу[1] этой окружности. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС[2]. Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану[3]. Из определения следует, что величина полного угла равна 2 радиан (см. рис. справа). Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла[4][5]. Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная. Содержание 1 Радиан в Международной системе единиц (СИ) 1.1 Кратные и дольные единицы 2 Связь радиана с другими единицами 2.1 Таблица градусов, радиан и град 3 Радианная мера в математическом анализе 4 История 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Радиан в Международной системе единиц (СИ) В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad[8]. Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду[9]. Кратные и дольные единицы Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад. Кратные Дольные величина название обозначение величина название обозначение 101 рад декарадиан дарад darad 101 рад децирадиан драд drad 102 рад гекторадиан град hrad 102 рад сантирадиан срад crad 103 рад килорадиан крад krad 103 рад миллирадиан мрад mrad 106 рад мегарадиан Мрад Mrad 106 рад микрорадиан мкрад µrad 109 рад гигарадиан Град Grad 109 рад нанорадиан нрад nrad 1012 рад терарадиан Трад Trad 1012 рад пикорадиан прад prad 1015 рад петарадиан Прад Prad 1015 рад фемторадиан фрад frad 1018 рад эксарадиан Эрад Erad 1018 рад атторадиан арад arad 1021 рад зеттарадиан Зрад Zrad 1021 рад зепторадиан зрад zrad 1024 рад йоттарадиан Ирад Yrad 1024 рад иокторадиан ирад yrad 1027 рад роннарадиан Рнрад Rrad 1027 рад ронторадиан рнрад rrad 1030 рад кветтарадиан Кврад Qrad 1030 рад квекторадиан кврад qrad  рекомендовано к применению Связь радиана с другими единицами Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой: 1 радиан = 1/( Очевидно, развернутый угол равен ${\displaystyle 180^{\circ },}$ или ${\displaystyle {\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi }$ радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот. где [рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах. 1 рад (или ${\displaystyle \rho ^{\circ }}$) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''}$(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды) ${\displaystyle \rho '}$ (или 1 рад в минутах) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'}$ ${\displaystyle \rho ''}$ (или 1 рад в секундах) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.}$ В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что ${\displaystyle \rho _{\prime \prime }}$ (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = ${\displaystyle {\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}\approx 636620.}$ Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения. Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим: Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (${\displaystyle \mathrm {rad} }$) делаем именованное (${\displaystyle \rho ^{\circ },\rho ',\rho ''}$) и поэтому должны множить на ${\displaystyle \rho ^{\circ }~(}$или ${\displaystyle \rho ',\rho '')}$; Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на ${\displaystyle \rho ^{\circ }~(}$или ${\displaystyle \rho ',\rho ''),}$ либо же умножать на перевёрнутую дробь ${\displaystyle {\frac {1}{\rho ^{\circ }}}~({\frac {1}{\rho '}},{\frac {1}{\rho ''}}).}$ Пример 1. Перевести в радианы ${\displaystyle 5^{\circ }43'46''.}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {\rho ^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}}$[10] ${\displaystyle 43'={\frac {43'}{\rho '}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}}$[10] ${\displaystyle 46''={\frac {46''}{\rho ''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}}$[10] ${\displaystyle \sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad} }$[10] ${\displaystyle =0{,}1~\mathrm {rad} }$ Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса, и однократного деления на ${\displaystyle \rho ^{\circ }:}$ (как правило, этот способ более точен) ${\displaystyle 46''={\frac {46''}{60''}}=0{,}{\boldsymbol {77}}'}$ ${\displaystyle 43{,}{\boldsymbol {77}}'={\frac {43{,}77'}{60'}}=0{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}$ ${\displaystyle \sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}$ ${\displaystyle 5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\rho ^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad} }$ Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан. ${\displaystyle a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }}$ ${\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'}$ ${\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''}$ Итого ${\displaystyle \approx 57^{\circ }17'45''.}$ Таблица градусов, радиан и град Таблица углов[11] Угол, в долях от полного Градусы Радианы Грады Синус Косинус Тангенс ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0^{\circ }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$ ${\displaystyle 15^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$ ${\displaystyle 16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$ ${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$ ${\displaystyle 30^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$ ${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ ${\displaystyle 45^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle 50^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ ${\displaystyle 60^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$ ${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\frac {5}{24}}}$ ${\displaystyle 75^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$ ${\displaystyle 88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$ ${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 100^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ не определён ${\displaystyle {\frac {7}{24}}}$ ${\displaystyle 105^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {7\pi }{12}}}$ ${\displaystyle 116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$ ${\displaystyle -2-{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle 120^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$ ${\displaystyle 133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$ ${\displaystyle 135^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$ ${\displaystyle 150^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$ ${\displaystyle 150^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$ ${\displaystyle 166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {11}{24}}}$ ${\displaystyle 165^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}$ ${\displaystyle 183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$ ${\displaystyle -2+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 200^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {7}{12}}}$ ${\displaystyle 210^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}$ ${\displaystyle 233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$ ${\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}$ ${\displaystyle 225^{\circ }}$ ${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}$ ${\displaystyle 250^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ ${\displaystyle 240^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$ ${\displaystyle 266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 270^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 300^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ не определён ${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$ ${\displaystyle 300^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}$ ${\displaystyle 333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$ ${\displaystyle 315^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$ ${\displaystyle 350^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\frac {11}{12}}}$ ${\displaystyle 330^{\circ }}$ ${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}$ ${\displaystyle 366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 360^{\circ }}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 400^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ Радианная мера в математическом анализе При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается. При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее ${\displaystyle 0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)}$, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше ${\displaystyle 0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)}$, — то до шестого знака после запятой[12]: ${\displaystyle \sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .}$ История Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной[13]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы[14]. Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»[15][16][17]. См. также Град, минута, секунда Градус, минута, секунда Оборот (единица измерения) Парсек Стерадиан Тысячная (угол) Примечания Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. Архивировано 21 января 2022 года. Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5. Выгодский, 1965. Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002. David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года. Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 28 июля 2012 года. Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин.  (неопр.) Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано из оригинала 10 ноября 2012 года. Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 7 октября 2014 года. 1 2 3 4 Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд. Abramowitz & Stegun, 1972, p. 74, 4.3.46.  ${\displaystyle \sin 5^{\circ }43'{,}77=0{,}0998\approx 0{,}100}$ ${\displaystyle \operatorname {tg} 5^{\circ }43'{,}77=0{,}1003\approx 0{,}100}$ (точность нарушается в четвертом знаке после запятой) ${\displaystyle \sin 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0099998\approx 0{,}010000}$ ${\displaystyle \operatorname {tg} 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0100003\approx 0{,}010000}$ (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой) Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы ${\displaystyle 5^{\circ }43'{,}77~(\approx 5^{\circ }43'46'')}$ и ${\displaystyle 0^{\circ }34'{,}38~(\approx 0^{\circ }34'23'')}$; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.) O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. Biography of Roger Cotes  (неопр.). The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года. Luckey, Paul. Der Lehrbrief ber den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40. Florian Cajori. History of Mathematical Notations (неопр.). — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4. Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — doi:10.1038/083156a0. — .Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — doi:10.1038/083217c0. — .Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — doi:10.1038/083459d0. — . Miller, Jeff. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics  (неопр.) (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2021 года. Литература Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с. Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X. Abramowitz, M.; Stegun, I. A.  (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.