Ромбическая мозаика[1], кантующиеся блоки[2], обратимые кубы или кубическая решётка — мозаика одинаковых ромбов с углом 60° на евклидовой плоскости. Каждый ромб имеет два угла 60° и два 120°. Такие ромбы иногда называют диамондами. Множества из трёх ромбов соприкасаются вершинами с углом 120°, а множества из шести — вершинами с углом 60°.
Ромбическую мозаику можно рассматривать как разделённую шестиугольную мозаику, в которой каждый шестиугольник разделён на три ромба, имеющих общую вершину в центре шестиугольника. Такое деление представляет правильную соединённую мозаику. Её можно рассматривать также как разделение четырёх шестиугольных мозаик, в которых шестиугольники разделены на 12 ромбов.
Мозаика является также одним из 56 возможных изоэдральных замощений четырёхугольниками[5] и одной из восьми замощений плоскости, в которой любое ребро лежит на оси симметрии мозаики[6].
Можно вложить ромбическую мозаику в подмножество трёхмерной целочисленной решётки таким образом, что две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие точки решётки находятся на единичном расстоянии друг от друга. Более строго, когда число рёбер в кратчайшем пути между двумя вершинами мозаики равно расстоянию городских кварталов между соответствующих точек решётки. Таким образом, ромбическую мозаику можно рассматривать как пример бесконечного графа единичных расстояний и частичного куба[7].
В ксилографиях Метаморфозы I[англ.], Метаморфозы II[англ.] и Метаморфозы III[англ.]Эшер использует эту интерпретацию мозаики как путь преобразования из двумерных в трёхмерные формы[9]. В другой его работе, Цикл (1938) , Эшер играет со внутренним противоречием между двухмерностью и трёхмерностью этой мозаики — на рисунке нарисованы здания, которые имеют большие кубические блоки в качестве архитектурных элементов и внутренний дворик наверху, замощённый ромбической мозаикой. Человеческие фигурки, спускающиеся из дворика вниз по кубам, становятся стилизованными и плоскими[10]. Эти работы используют только одну трёхмерную интерпретацию мозаики, но в картине Выпуклый и вогнутый[англ.] Эшер экспериментирует с обратимыми фигурами и включает изображение обратимых кубов на флаге[11].
Ромбическая мозаика используется также для паркета[12] и как плитка для пола или стен, иногда с изменением формы ромбов[13] Ромбический рисунок обнаруживается на древнем мозаичном полу в греческом Дилосе[14] и на итальянском полу 11-го столетия[15], хотя плитка в мозаике Сиенского собора более позднего производства[16]. Стёганый материал[англ.], известен с 1850-х годов как узор «кувыркающихся блоков», что выражает визуальный диссонанс, вызванный двоякой трёхмерной интерпретацией[2][15][17]. Этот узор имеет много других названий, например, небесная лестница и ящик Пандоры[17]. Считается, что этот узор использовался в качестве сигнала на подпольной железной дороге — когда рабы видели его повешенным на ограде, они собирали свои пожитки и скрывались[18]. В этих декоративных узорах могут использоваться ромбы различных цветов, но обычно используются три оттенка, более светлые ромбы с горизонтальными длинными диагоналями и более тёмные в других двух направлениях, что усиливает их эффект трёхмерности.
Существует одно известное присутствие ромбической и тришестиугольной мозаик в английской геральдике[англ.] — на гербе армии Geal/e[19].
Топологически эквивалентные мозаики
Ромбическая мозаика иногда осуществляется с меньшей степенью симметрии. Например, следующие два варианта. Иногда эти варианты называются кубической мозаикой за иллюзию трёхмерных сложенных кубиков, видимых под углом.
Другие приложения
Ромбическую мозаику можно рассматривать как результат наложения двух различных шестиугольных мозаик, сдвинутых так, что вершины одной мозаики оказываются в центре шестиугольников другой мозаики. В таком виде ромбическая мозаика может быть использована для создания блочного клеточного автомата, в котором ячейками автомата являются ромбы мозаики, а блоками в чередующихся шагах автомата служат шестиугольники двух мозаик. В этом контексте автомат называется «полем Q*bert», по названию видеоигры Q*bert, в которой игровое поле выглядит как пирамида из кубов.
Поле Q*bert можно использовать для поддержки универсальной системы путём имитации бильярдного компьютера[20].
Ромбическая мозаика является двойственной тригексагональной мозаике, а потому принадлежит множеству мозаик, однородных двойственным. Она является также частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с группой симметрий Коксетера [n,3], которая начинается с куба, который можно рассматривать как ромбический шестигранник, а ромбами в нём служат квадраты. n-ый элемент этой последовательности имеет конфигурацию граней[англ.] V3.n.3.n.
Fumiko Yonezawa, Shoichi Sakamoto, Motoo Hori. Percolation in two-dimensional lattices. I. A technique for the estimation of thresholds // Phys. Rev. B. — 1989. — Т. 40, вып. 1. — С. 636–649. — doi:10.1103/PhysRevB.40.636.
Maurits Cornelis Escher. M.C. Escher, the Graphic Work. — Taschen, 2001. — С. 29–30. — ISBN 9783822858646.
Литература для дополнительного чтения
Keith Critchlow, Order in Space: A design source book, 1970, p. 77-76, pattern 1
