Ru.Wikipedia.Org - Ряд Лорана

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Ряд Лорана
Материал из https://ru.wikipedia.org

Ряд Лорана^[1] (или разложение Лорана^[2]^[3], представление Лорана^[4]) комплексной функции в кольце — понятие комплексного анализа, раздела математики, представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями^[5].

Ряд Лорана можно понимать как обобщение некоторого ряда комплексной функции в окрестности точки

z=z_{0}

, расположенного либо только по целым неотрицательным степеням разности комплексных чисел

z-z_{0}

(степенного ряда), либо только по целым неположительным степеням

z-z_{0}

в следующем виде^[6]^[7]^[8]^[9]:

\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}+\sum \limits _{k=-1}^{-\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=

=c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+c_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots +{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}+{\frac {c_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}}+\cdots

Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно в некотором круговом кольце

r<|z-z_{0}|<R

и является в этом кольце аналитической функцией^[10]. Но множество точек сходимости ряда Лорана может быть больше открытого кольца на некоторое множество точек его границы^[11].

Содержание

Определение

1. Конечная точка. Ряд Лорана в конечной точке

z_{0}\in \mathbb {C}

— функциональный ряд по целым степеням

(z-z_{0})

над полем комплексных чисел:

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad

где переменная

z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\}

, а коэффициенты

c_{n}\in \mathbb {C}

для

n\in \mathbb {Z}

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

$\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ — часть по неотрицательным степеням $(z-z_{0})$ ,
$\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ — часть по отрицательным степеням $(z-z_{0})$ .

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если

A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})

— область сходимости ряда Лорана такая, что

z_{0}\in \partial {A_{z_{0}}}

, то для

A_{z_{0}}

ряд

\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}

называется правильной частью,

ряд

\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

называется главной частью.

2. Бесконечно удалённая точка. Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке

z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}

— функциональный ряд по целым степеням

z

над полем комплексных чисел:

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad

где переменная

z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}

, а коэффициенты

c_{n}\in \mathbb {C}

для

n\in \mathbb {Z}

По внешнему виду ряд для

z_{0}=\infty

совпадает с рядом для

z_{0}=0

, однако с формальной точки зрения получен с помощью замены

z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}

для

\zeta _{0}=0

.

Если

A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})

— область сходимости ряда Лорана такая, что

\infty \in \partial {A_{\infty }}

, то для

A_{\infty }

ряд

\sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}

называется правильной частью,

ряд

\sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}

называется главной частью.

Свойства

Часть по положительным степеням $(z-z_{0})$ сходится во внутренности $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$ круга радиуса $R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\infty ]$ ,

часть по отрицательным степеням

(z-z_{0})

сходится во внешности

\Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:|z-z_{0}|>r\}

круга

D_{r}

радиуса

r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]

Поэтому, если

r<R\,

, то внутренность

A

области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо

A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{R}

Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности $C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\}$ зависит только от $\sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ для произвольного $n_{s}\in \mathbb {N}$ ,

а в точках граничной окружности

C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\}

— только от

\sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

для произвольного

n_{s}\in \mathbb {N}

Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца

A

может быть разнообразным.

Во всех точках кольца $A$ ряд Лорана сходится абсолютно.
На любом компактном подмножестве $K\subset A$ ряд сходится равномерно.
Для каждой точки $\zeta _{0}\in A$ существует такое значение $\rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist}}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0$ , что $D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\}\subset A$ , и ряд Лорана $f(z)$ может быть записан в виде сходящегося в $D_{\rho }(\zeta _{0})$ ряда по степеням $(z-\zeta _{0})$ :

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty }t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad

где

z\in D_{\rho }(\zeta _{0})

, а

t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!}}

для

k\in \{0\}\cup \mathbb {N}

т.е.

\zeta _{0}

является для

f(z)

правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в

A

есть аналитическая функция

f(z)

Для $0<r<R<+\infty$ на граничных окружностях кольца сходимости $A$ существуют непустые множества $I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})$ , $I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})$ точек, не являющихся для $f(z)$ правильными.
Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном $K\subset A$ почленно.
Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в $A$ функцию только при $c_{-1}=0$ , поскольку для любого $\rho >0$ значение $\int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{\begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\right.$

Ряд

\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,

, представляющий в двусвязной области

A

функцию

f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,

, для любого компактного

K\subset A

и любой спрямляемой ориентированной кривой

\gamma \subset K

можно интегрировать по

\gamma

почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек

\gamma

и не зависит от формы кривой

\gamma

Коэффициенты $(c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ ряда Лорана $f(z)$ удовлетворяют соотношениям

c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}

где

\gamma

— любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном

K\subset A

и один раз обходящая против часовой стрелки точку

z_{0}

. В частности, в качестве

\gamma

можно взять любую окружность

C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\}

радиуса

\rho \in (r;R)

с центром в

z_{0}

, расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр

t

должен возрастать).

Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням $(z-z_{0})$ , сходящихся в $A_{1}$ и $A_{2}$ соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности $C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})$ или на гомотопной ей по $A_{1}\cap A_{2}$ спрямляемой кривой $\gamma \sim C_{\rho }$ , то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана.

Любая функция $f(z)$ , являющаяся однозначной и аналитической в кольце $A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}$ , представима в $A$ сходящимся рядом Лорана по степеням $(z-z_{0})$ .

Представление однозначной аналитической функции

f(z)

в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности

A_{z_{0}}

изолированной особой точки:

1) если точка

z_{0}\neq \infty

, то существует радиус

R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]

такой, что в проколотой окрестности

A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad

функция

f(z)

представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка

z_{0}=\infty

, то существует радиус

r_{\infty }\in [0;+\infty )

такой, что в проколотой окрестности

A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \}

функция

f(z)

представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки

z_{0}

определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности

A_{z_{0}}

Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Связь рядов Лорана и Фурье

Рассмотрим связь между рядами Лорана и рядами Фурье. Определим ряд Фурье некоторой функции

\varphi

, которая интегрируема на отрезке

[0,\,2\pi ]\subset \mathbb {R}

, как следующий функциональный ряд^[12]:

{\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nt+b_{n}\sin nt)

где

a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)\cos ntdt,\,\,

b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)\sin ntdt,\,\,

n=0,\,1,\,\dots ,\,\,

b_{0}=0.

Перепишем этот ряд Фурье в комплексной форме. Используем формулы Эйлера

\cos nt={\frac {e^{int}+e^{-int}}{2}}

\,\,\sin nt={\frac {e^{int}-e^{-int}}{2i}}

{\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}e^{int}+{\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}e^{-int}\right)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int}

где

c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt,\,\,

n=0,\,1,\,\dots ,

c_{n}={\frac {a_{-n}-ib_{-n}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt,\,\,

n=-1,\,-2,\,\dots ,

получаем, что ряд

\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int}

с коэффициентами

c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt

и есть ряд Фурье исходной функции

\varphi

, переписанный в комплексной форме^[13].

Наконец, положим

e^{it}=z

\,\,dz=zidt

\,\,\varphi (t)=f(e^{it})=f(z)

тогда ряд Фурье запишется в форме ряда Лорана

\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}

со следующими коэффициентами^[14]:

c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(e^{it})e^{-int}dt={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z|=1}f(z){\frac {dz}{z^{n+1}}}

Итак, доказана следующая теорема^[14].

Теорема 1. Комплексная форма ряда Фурье функции $\varphi (t)$ , $t\in [0,\,2\pi ]$ , есть ряд Лорана функции $f(z)=\varphi (t)$ , где $z=e^{it}$ , на единичной окружности $\{|z|=1\}$ ^[14]^[14].

Естественно, что верна и обратная теорема^[14].

Теорема 2. Ряд Лорана комплексной функции $f(z)=\varphi (t)$ на единичной окружности $\{|z|=1\}$ есть комплексная форма ряда Фурье функции $f(e^{it})=\varphi (t)$ , $t\in [0,\,2\pi ]$ ^[14].

Замечание. В общем случае, даже когда ряд Фурье сходится к функции

\varphi (t)

в любой точке отрезка

[0,\,2\pi ]

, то для соответствующего ряда Лорана может оказаться

R=r=1

, то есть область его сходимости пуста. Оказывается, только при некоторых строгих условиях для функции

\varphi (t)

у соответствующего ряда Лорана область сходимости будет непуста^[14].

Историческая справка

Ряды, аналогичные ряду Лорана, встречаются уже в 1748 году у швейцарского, прусского и российского математика Л. Эйлера. Тем не менее такие ряды получили своё название по имени французского математика П. Лорана, доказавшего в 1843 году свою теорему. Более того, ту же теорему получил немного ранее немецкий математик К. Вейерштрасс, однако эта его работа была опубликована только в 1894 году^[7].

Примечания

Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава VI. Изолированные особые точки… § 3. Поведение аналитической функции в бесконечности, с. 222.
Титчмарш Э. Ч. Теория функций, 1980, 2.7. Ряд Лорана, с. 100.
Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several complex variables, 2011, 2.7 Multiple Laurent series…, p. 38, 39.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 129.
Соломенцев Е. Д. Лорана ряд, 1982, стб. 450.
¹ ² Лорана ряд. БСЭ 3, 1974.
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1, 1967, Глава четвёртая. Различные ряды…. § 2. Ряд Лорана…, с. 376—377.
Евграфов М. А. Аналитические функции, 1991, Глава IV. Особые точки и разложение в ряды. § 4. Вычеты и ряд Лорана, с. 152.
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1, 1967, Глава четвёртая. Различные ряды…. § 2. Ряд Лорана…, с. 378.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 130.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 133.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 133—134.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 134.

Источники

Евграфов М. А. Аналитические функции: Учеб. пособие для вузов (рус.). — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: «Наука», 1991. — 447 с., ил. — ISBN 5-02-014200-X.