Меню Главная Случайная статья Настройки Сопряжённые числа Материал из https://ru.wikipedia.org Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями[1]. Например, сопряжёнными являются числа ${\displaystyle 3+4i}$ и ${\displaystyle 3-4i}$. Число, сопряжённое к числу ${\displaystyle z}$, обозначается ${\displaystyle {\overline {z}}}$. В общем случае, сопряжённым к числу ${\displaystyle z=a+ib}$ (где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — действительные числа) является ${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib}$. Например: ${\displaystyle {\overline {3-2i}}=3+2i}$ ${\displaystyle {\overline {7}}=7}$ ${\displaystyle {\overline {i}}=-i.}$ На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид ${\displaystyle re^{i\phi }}$ и ${\displaystyle re^{-i\phi }}$, что непосредственно следует из формулы Эйлера. Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом. Содержание 1 Свойства 2 Определение координат числа и сопряжения 3 Примечания 4 Литература Свойства Для произвольных комплексных чисел ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$: ${\displaystyle {\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}}$, ${\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}=z\Leftrightarrow z}$ является действительным числом, ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}}$ для всех целых ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$, ${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}$, ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$ (то есть, сопряжение является инволюцией), ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$, если ${\displaystyle z}$ не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах. Если ${\displaystyle \phi }$ является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены ${\displaystyle \phi (z)}$, то: ${\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}}$. В частности: ${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}}$ ${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}}$, если ${\displaystyle z}$ не равно нулю. если ${\displaystyle p}$ — полином с действительными коэффициентами и ${\displaystyle p(z)=0}$, то также ${\displaystyle p({\overline {z}})=0}$, то есть комплексные (не действительные) корни таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары. Определение координат числа и сопряжения Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2}$ ${\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i}$ ${\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}$ ${\displaystyle e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}}$ (если ${\displaystyle z}$ не равно нулю). Примечания Weisstein, Eric W. Complex Conjugates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Литература Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.