Меню Главная Случайная статья Настройки Спектральный радиус Материал из https://ru.wikipedia.org Спектральный радиус — понятие в математике, определяемое для квадратной матрицы как максимум абсолютных значений её собственных значений[1]. В более общем случае, спектральный радиус линейного ограниченного оператора — это точная верхняя граница абсолютных значений элементов его спектра. Спектральный радиус часто обозначается (·). Содержание 1 Определение 1.1 Матрицы 1.2 Ограниченные линейные операторы 1.3 Графы 2 Верхние границы 2.1 Верхние границы спектрального радиуса матрицы 2.2 Верхние границы для спектрального радиуса графа 3 Последовательность степеней 4 Формула Гельфанда 4.1 Теорема 4.2 Доказательство 4.3 Следствие 4.4 Числовой пример 5 Примечания 6 Литература Определение Матрицы Пусть ${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$ Спектральный радиус можно представить как точную нижнюю границу всех норм матрицы. Действительно, с одной стороны, ${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$ для каждой естественной нормы матрицы ${\displaystyle \|\cdot \|}$; а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что ${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$. Оба этих результата показаны ниже. Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ для произвольных векторов ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$. Чтобы понять, почему, пусть ${\displaystyle r>1}$ будет произвольным, тогда рассмотрим матрицу ${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$. Характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle C_{r}}$ — это ${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$, поэтому его собственные значения равны ${\displaystyle \{-1,1\}}$ и, следовательно, ${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$. Однако, ${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$. В результате, ${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}$ В качестве иллюстрации формулы Гельфанда заметим, что ${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$ при ${\displaystyle k\to \infty }$, поскольку ${\displaystyle C_{r}^{k}=I}$, если ${\displaystyle k}$ — чётное, и ${\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}$, если ${\displaystyle k}$ — нечётное. Особым случаем, когда ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ для всех ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$, является ситуация, при которой ${\displaystyle A}$ — эрмитова матрица и ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — евклидова норма. Это связано с тем, что любая эрмитова матрица является диагонализируемой унитарной матрицей, а унитарные матрицы сохраняют длину вектора. В результате, ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.}$ Ограниченные линейные операторы В контексте ограниченного линейного оператора ${\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{не биективный}}\right\}}$. Спектральный радиус определяется как точная верхняя грань величин элементов спектра: ${\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |.}$ Формула Гельфанда, также известная как формула спектрального радиуса, справедлива и для ограниченных линейных операторов: пусть ${\displaystyle \|\cdot \|}$ обозначает норму оператора, тогда имеем ${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$ Ограниченный оператор (на комплексном гильбертовом пространстве) называется спектралоидным оператором, если его спектральный радиус совпадает с числовым радиусом[англ.]. Примером такого оператора является нормальный оператор. Графы Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности. Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (то есть существует некоторое вещественное число ${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}$ Пусть ${\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}$ Спектральный радиус Верхние границы Верхние границы спектрального радиуса матрицы Следующее утверждение предоставляет простые, но полезные верхние границы на спектральный радиус матрицы Утверждение. Пусть ${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$ Доказательство Пусть (v, ) — пара собственного вектора и собственного значения для матрицы A. В силу субмультипликативности нормы матрицы получаем: ${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$ Поскольку v 0, мы получаем ${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$ и поэтому ${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}},}$ что и требовалось доказать. Верхние границы для спектрального радиуса графа Существует множество верхних границ для спектрального радиуса графа в терминах его количества n вершин и количества m рёбер. Например, если ${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$ где ${\displaystyle 3\leq k\leq n}$ является целым, тогда[2] ${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$ Последовательность степеней Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости последовательности степеней матрицы, как показано в следующей теореме. Теорема. Пусть A Cnn со спектральным радиусом (A). Тогда (A) < 1 тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$ С другой стороны, если (A) > 1, то ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$. Это утверждение верно для любой выбранной нормы матрицы в Cnn. Доказательство Допустим, что ${\displaystyle A^{k}}$ стремится к нулю, когда ${\displaystyle k}$ стремится к бесконечности. Мы покажем, что (A) < 1. Пусть (v, ) — пара собственного вектора и собственного значения для A. Так как Akv = kv, у нас есть следующее: ${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}.\end{aligned}}}$ Поскольку v 0 по предположению, то должно выполняться следующее утверждение: ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,}$ из чего следует, что || < 1. Поскольку это должно быть верным для любого собственного значения , мы можем сделать вывод, что (A) < 1. Теперь предположим, что радиус A меньше 1. Из теоремы о жордановой нормальной форме известно, что для всех A Cnn, существуют V, J Cnn, где V — невырожденная и J — блочная диагональная, такие что: ${\displaystyle A=VJV^{-1}}$ с ${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$ где ${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$ Легко заметить, что ${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$ и, поскольку J — блочно-диагональная, ${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}.}$ Теперь стандартный результат k-ой степени блока Жордана размера ${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$ утверждает, что для ${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$: ${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$ Таким образом, если ${\displaystyle \rho (A)<1}$, то для всех i верно ${\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$. Следовательно, для всех i у нас есть: ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$, из чего следует ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$ Следовательно, ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0.}$ С другой стороны, если ${\displaystyle \rho (A)>1}$, то по крайней мере один элемент в J не остается ограниченным при увеличении k, что доказывает вторую часть утверждения. Формула Гельфанда Формула Гельфанда, названная в честь Израиля Гельфанда, предоставляет спектральный радиус как предел матричных норм. Теорема Для любой матричной нормы ||||, у нас есть[3] ${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$. Более того, в случае согласованной матричной нормы ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$ приближается к ${\displaystyle \rho (A)}$ сверху (действительно, в этом случае ${\displaystyle \rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$ для всех ${\displaystyle k}$). Доказательство Для любого > 0, определим две следующие матрицы: ${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$ Таким образом, ${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$ Начнем с применения предыдущей теормы о пределах последовательностей степеней к A+: ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$ Это показывает существование N+ N такого, что для всех k N+, ${\displaystyle \left\|A_{+}^{k}\right\|<1.}$ Поэтому, ${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .}$ Аналогично, теорема о последовательностях степеней подразумевает, что ${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$ не ограничена и существует N N такое, что для всех k N, ${\displaystyle \left\|A_{-}^{k}\right\|>1.}$ Следовательно, ${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .}$ Пусть N = max{N+, N}. Тогда, ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,}$ то есть, ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A),}$ что и требовалось доказать. Следствие Формула Гельфанда даёт оценку спектрального радиуса произведения коммутирующих матриц: если ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ — матрицы, все коммутирующие между собой, то ${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$ Числовой пример Рассмотрим матрицу ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}},}$ собственные значения которой равны 5, 10, 10; по определению, (A) = 10. В следующей таблице приведены значения ${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$ для четырёх наиболее используемых норм в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы, ${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$): k ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}=\|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ 1 14 15.362291496 10.681145748 2 12.649110641 12.328294348 10.595665162 3 11.934831919 11.532450664 10.500980846 4 11.501633169 11.151002986 10.418165779 5 11.216043151 10.921242235 10.351918183 ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ 10 10.604944422 10.455910430 10.183690042 11 10.548677680 10.413702213 10.166990229 12 10.501921835 10.378620930 10.153031596 ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ 20 10.298254399 10.225504447 10.091577411 30 10.197860892 10.149776921 10.060958900 40 10.148031640 10.112123681 10.045684426 50 10.118251035 10.089598820 10.036530875 ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ 100 10.058951752 10.044699508 10.018248786 200 10.029432562 10.022324834 10.009120234 300 10.019612095 10.014877690 10.006079232 400 10.014705469 10.011156194 10.004559078 ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ 1000 10.005879594 10.004460985 10.001823382 2000 10.002939365 10.002230244 10.000911649 3000 10.001959481 10.001486774 10.000607757 ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ 10000 10.000587804 10.000446009 10.000182323 20000 10.000293898 10.000223002 10.000091161 30000 10.000195931 10.000148667 10.000060774 ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \vdots }$ 100000 10.000058779 10.000044600 10.000018232 Примечания Gradshten, I. S. Table of integrals, series, and products. — Corr. and enl. — New York : Academic Press, 1980. — ISBN 0-12-294760-6. Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph. Discrete Mathematics (англ.). 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017. S2CID 198169497. формула выполняется для любой банаховой алгебры; см. лемму IX.1.8 в Dunford & Schwartz, 1963 и Lax, 2002, pp. 195–197 Литература Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc. Lax, Peter D. (2002), Functional Analysis, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1