Меню Главная Случайная статья Настройки Тензор энергии-импульса Материал из https://ru.wikipedia.org Тензор энергии-импульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи[1] и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем. Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности. Содержание 1 Компоненты тензора энергии-импульса 1.1 Частные случаи 2 Канонический тензор энергии-импульса 3 Метрический тензор энергии-импульса 4 Тензор энергии-импульса в классической электродинамике 5 Тензор энергии-импульса в квантовой теории поля 6 См. также 7 Примечания 8 Литература Компоненты тензора энергии-импульса Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4: ${\displaystyle T^{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right).}$ В нём обнаруживаются следующие физические величины: T00 — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира[2]. T10, T20, T30 — компоненты импульса плотности, умноженные на c. T01, T02, T03 — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T соблюдается равенство: T0 = T0 Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент ${\displaystyle T^{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right)}$ есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус. Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса имеют размерность ML1T2 (как у давления или плотности энергии). Частные случаи В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью. Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице ${\displaystyle {\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)}$, где ${\displaystyle {\rho }}$ есть плотность массы, а ${\displaystyle p}$ — гидростатическое давление. В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как ${\displaystyle T^{ik}=\rho \,u^{i}u^{k}}$ где ${\displaystyle \rho }$ — плотность массы (покоя), ${\displaystyle u^{i},u^{k}}$ — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо ещё суммировать (интегрировать) по скоростям. Канонический тензор энергии-импульса В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ. Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }(\phi _{i},\partial _{\mu }\phi _{i})}$, зависящего от полевых функций ${\displaystyle \phi _{i}}$ и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций: ${\displaystyle {\begin{cases}x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\\\phi _{i}(x)\to \phi _{i}^{\prime }(x^{\prime })=\phi _{i}(x).\end{cases}}}$ Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах) ${\displaystyle {{T_{c}}^{\mu }}_{\nu }(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\delta _{\nu }^{\mu },}$ который имеет вид ${\displaystyle \partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\nu }\equiv T_{\nu ,\;\mu }^{\mu }=0.}$ Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму ${\displaystyle T^{\mu \nu }=g^{\nu \rho }\,{T^{\mu }}_{\rho }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial ^{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g^{\mu \nu }.}$ Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ к симметризованному виду добавлением тензорной величины ${\displaystyle {\frac {\partial \psi ^{\mu \nu \lambda }}{\partial x^{\lambda }}}\;,}$ где тензор ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }\;}$ антисимметричен по двум последним индексам ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }=-\psi ^{\mu \lambda \nu }}$. Действительно, для симметризованного ТЭИ ${\displaystyle \Theta ^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+\partial _{\lambda }\psi ^{\mu \nu \lambda }}$ автоматически следует закон сохранения ${\displaystyle \partial _{\nu }\Theta ^{\mu \nu }=0.}$ Метрический тензор энергии-импульса В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ ${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)}$ выражается через вариационную производную по метрическому тензору ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ в точке ${\displaystyle x}$ пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия: ${\displaystyle {T_{m}}^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}=g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g_{\mu \nu }}}=}$ ${\displaystyle ={\frac {2}{\sqrt {-g}}}\left({\frac {\partial ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\partial g_{\mu \nu }(x)}}-{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}}{\frac {\partial ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\partial \displaystyle {\frac {\partial g_{\mu \nu }(x)}{\partial x^{\lambda }}}}}+\ldots \right),}$ где ${\displaystyle g(x)=\det \left(g_{\mu \nu }(x)\right).}$ Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля: ${\displaystyle {\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }\right)=T_{\mu \nu }(x),}$ где ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ — тензор Риччи, ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$ — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде ${\displaystyle T_{\nu ;\mu }^{\mu }=0.}$ Тензор энергии-импульса в классической электродинамике В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид: ${\displaystyle T_{00}={\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} }{2}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{01}&T_{02}&T_{03}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{10}&T_{20}&T_{30}\end{pmatrix}}={\frac {1}{c}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right]}$ ${\displaystyle T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}T_{00}.}$ Пространственные компоненты ${\displaystyle T_{ij}}$ образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений[3] или тензором натяжений Максвелла[4]. В ковариантной форме можно записать: ${\displaystyle T^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F_{\alpha }{}^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}$ Тензор энергии-импульса в квантовой теории поля В квантовой теории поля тензор энергии-импульса переходит из классической наблюдаемой в операторнозначное распределение, выступая генератором алгебры Пуанкаре в пространстве состояний и источником гравитационного поля в полуклассическом пределе. Его конструкция требует учёта процедур квантования, перенормировки и возможных квантовых аномалий. Операторное определение и конструкция Исходным пунктом является классическое действие ${\displaystyle S[\phi ]=\int d^{4}x,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$, инвариантное относительно глобальных преобразований Пуанкаре ${\displaystyle x^{\mu }\to \Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu }}$. Теорема Нётер предписывает сохранение канонического тензора энергии-импульса: ${\displaystyle T^{\mu \nu }{_{\text{can}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \mu \phi )}}\partial ^{\nu }\phi -\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}},\quad \partial _{\mu }T^{\mu \nu }{_{\text{can}}}=0.}$ Данный тензор, вообще говоря, не симметричен ${\displaystyle T^{\mu \nu }{_{\text{can}}}\neq T^{\nu \mu }{_{\text{can}}}}$. Симметричный улучшенный тензор Белинфанте строится добавлением дивергенции суперпотенциала, антисимметричного по первым двум индексам: ${\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{_{\text{can}}}+\partial _{\rho }\Psi ^{\rho \mu \nu },\quad \Psi ^{\rho \mu \nu }=-\Psi ^{\mu \rho \nu }.}$ При переходе к квантовой теории поля становятся операторами, действующими на гильбертово пространство Фока. Соответственно, ТЭИ становится операторнозначным распределением ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$. Его определение сталкивается с проблемами, связанными с сингулярностью произведения операторов в одной точке пространства-времени. Для придания строгого смысла выражению ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)=\mathop {:} {\frac {\partial {\hat {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }{\hat {\phi }})}}\partial ^{\nu }{\hat {\phi }}-\eta ^{\mu \nu }{\hat {\mathcal {L}}}\mathop {:} +{\text{контрчлены}}}$ требуется применение процедур перенормировки и, часто, нормального упорядочения. Алгебраические свойства и генераторы симметрий Корректно определённый оператор ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$ должен удовлетворять следующим аксиоматическим свойствам: Симметрия: ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)={\hat {T}}^{\nu \mu }(x)}$. Сохранение: Локальное сохранение выполняется на пространстве физических состояний: ${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {T}}^{\mu \nu }(x)=0.}$ Ковариантность относительно группы Пуанкаре: ${\displaystyle U(\Lambda ,a){\hat {T}}^{\mu \nu }(x)U^{-1}(\Lambda ,a)=\Lambda _{\rho }^{\mu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }{\hat {T}}^{\rho \sigma }(\Lambda x+a),}$, где ${\displaystyle U(\Lambda ,a)}$ — унитарное представление группы Пуанкаре. Пространственные интегралы от плотностей ${\displaystyle {\hat {T}}^{0\nu }(x)}$ дают генераторы группы Пуанкаре: Оператор полного 4-импульса: ${\displaystyle {\hat {P}}^{\nu }=\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}x,{\hat {T}}^{0\nu }(\mathbf {x} ,t).}$ Оператор момента импульса: ${\displaystyle {\hat {M}}^{\mu \nu }=\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}x,\left(x^{\mu }{\hat {T}}^{0\nu }(\mathbf {x} ,t)-x^{\nu }{\hat {T}}^{0\mu }(\mathbf {x} ,t)\right).}$ Эти генераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре: ${\displaystyle [{\hat {P}}^{\mu },{\hat {P}}^{\nu }]=0,\quad [{\hat {M}}^{\mu \nu },{\hat {P}}^{\rho }]=i(\eta ^{\mu \rho }{\hat {P}}^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }{\hat {P}}^{\mu }),}$ ${\displaystyle [{\hat {M}}^{\mu \nu },{\hat {M}}^{\rho \sigma }]=i(\eta ^{\mu \rho }{\hat {M}}^{\nu \sigma }-\eta ^{\mu \sigma }{\hat {M}}^{\nu \rho }-\eta ^{\nu \rho }{\hat {M}}^{\mu \sigma }+\eta ^{\nu \sigma }{\hat {M}}^{\mu \rho }).}$ Перенормировка, аномалии и тождества Уорда В квантованной теории классические симметрии могут нарушаться квантовыми эффектами . Наиболее важной является трейс-аномалия (конформная аномалия). Если классическое действие инвариантно относительно масштабных преобразований, то классический след ТЭИ обращается в ноль: ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=0}$. В квантовой теории это свойство нарушается. Для безмассового поля в искривлённом пространстве-времени: ${\displaystyle \langle {\hat {T}}_{\mu }^{\mu }\rangle ={\frac {1}{(4\pi )^{2}}}\left(cC_{\mu \nu \rho \sigma }C^{\mu \nu \rho \sigma }-aE_{4}\right),}$ где ${\displaystyle C_{\mu \nu \rho \sigma }}$ — тензор Вейля, ${\displaystyle E_{4}}$ — скалярная кривизна Эйлера (4-форма Гаусса-Бонне), а ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle a}$ — центральные заряды, характеризующие теорию. В плоском пространстве-времени для калибровочных теорий это упрощается до: ${\displaystyle \langle {\hat {T}}_{\mu }^{\mu }\rangle ={\frac {\beta (g)}{2g}}\langle {\hat {F}}_{\mu \nu }^{a}{\hat {F}}^{a\mu \nu }\rangle +\gamma _{m}(g)m\langle {\hat {\bar {\psi }}}{\hat {\psi }}\rangle ,}$ где ${\displaystyle \beta (g)}$ — бета-функция, а ${\displaystyle \gamma _{m}}$ — аномальная размерность массы. Корреляционные функции, содержащие ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$, удовлетворяют тождествам Уорда-Такахаши, которые являются квантовым аналогом теоремы Нётер. Для ${\displaystyle n}$-точечной функции скалярных полей имеет место тождество: ${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}\langle T{{\hat {T}}^{\mu \nu }(x){\hat {\phi }}(x_{1})\ldots {\hat {\phi }}(x_{n})}\rangle =-\sum _{k=1}^{n}\delta (x-x_{k})\partial _{x_{k}}^{\nu }\langle T{{\hat {\phi }}(x_{1})\ldots {\hat {\phi }}(x_{n})}\rangle ,}$ где ${\displaystyle T}$ обозначает хронологическое упорядочение. Специфика калибровочных теорий В калибровочных теориях (КЭД, КХД) построение калибровочно-инвариантного ТЭИ является нетривиальной задачей. Калибровочная инвариантность требует модификации классического выражения. Для квантовой электродинамики (КЭД) симметричный и калибровочно-инвариантный тензор имеет вид: ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }{_{\text{QED}}}=\mathop {:} {\hat {F}}^{\mu \rho }{\hat {F}}_{\rho }^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }{\hat {F}}_{\rho \sigma }{\hat {F}}^{\rho \sigma }+{\frac {i}{2}}{\bar {\hat {\psi }}}(\gamma ^{\mu }{\overset {\leftrightarrow }{D^{\nu }}}+\gamma ^{\nu }{\overset {\leftrightarrow }{D^{\mu }}}){\hat {\psi }}\mathop {:} ,}$ где ${\displaystyle D\mu =\partial _{\mu }-ie{\hat {A}}_{\mu }}$ — ковариантная производная, а ${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{D_{\mu }}}={\overset {\rightarrow }{D_{\mu }}}-{\overset {\leftarrow }{D_{\mu }}}}$. Аксиоматический подход В рамках аксиоматического подхода Вайтмана или локальной квантовой теории поля (алгебраический подход Хаг-Кастлера) тензор энергии-импульса определяется как операторнозначное распределение, удовлетворяющее следующим условиям: Локальность: Для любых двух пространственноподобно разделённых точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ (${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$) операторы ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$ и ${\displaystyle {\hat {T}}^{\rho \sigma }(y)}$ коммутируют: ${\displaystyle [{\hat {T}}^{\mu \nu }(x),{\hat {T}}^{\rho \sigma }(y)]=0.}$ Положительность энергии: Для любого времениподобного или светоподобного вектора ${\displaystyle n_{\mu }}$ плотность энергии ${\displaystyle n_{\mu }n_{\nu }{\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$ является положительным оператором. Ковариантность: Закон преобразования относительно группы Пуанкаре. Этот подход обеспечивает математически строгий фундамент для квантовой теории поля, свободный от проблем пертурбативного подхода. См. также Тензор кривизны Тензор Эйнштейна Примечания Полями материи (материальными полями) в общей теории относительности традиционно называются все поля, кроме гравитационного. M. Morris, K. Thorne, and U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition Архивировано 17 июля 2012 года., Physical Review, 61, 13, September 1988, pp. 1446—1449 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 115. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7. Литература