Меню Главная Случайная статья Настройки Соотношение Бретшнайдера Материал из https://ru.wikipedia.org Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, аналог теоремы косинусов. Содержание 1 Формулировка 1.1 Замечание 1.2 Доказательство 2 Следствия 3 См. также 4 Литература Формулировка Между сторонами a, b, c, d, углами ${\displaystyle \alpha ,\gamma ,}$ противоположными друг другу, и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение: ${\displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).}$ Замечание Эквивалентные формулировки: ${\displaystyle e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}},}$ ${\displaystyle e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}.}$ Доказательство Вне четырёхугольника построим внешним образом ${\displaystyle \triangle ABF}$ подобный ${\displaystyle \triangle CAD}$ и ${\displaystyle \triangle ADE}$ подобный ${\displaystyle \triangle CAB}$, чтобы ${\displaystyle \angle CAD=\angle FBA}$, ${\displaystyle \angle ACD=\angle FAB}$, ${\displaystyle \angle BAC=\angle ADE}$, ${\displaystyle \angle BCA=\angle DAE}$. Из свойства подобных треугольников имеем: ${\displaystyle {\frac {AF}{a}}={\frac {c}{e}}}$; ${\displaystyle {\frac {BF}{a}}={\frac {d}{e}}}$; ${\displaystyle {\frac {AE}{d}}={\frac {b}{e}}}$; ${\displaystyle {\frac {DE}{d}}={\frac {a}{e}}}$. Отсюда ${\displaystyle AF={\frac {ac}{e}}}$; ${\displaystyle AE={\frac {bd}{e}}}$; ${\displaystyle BF=DE={\frac {ad}{e}}}$. Сумма углов ${\displaystyle \angle B}$ и ${\displaystyle \angle D}$ в четырёхугольнике ${\displaystyle FBDE}$ равна сумме углов ${\displaystyle \triangle BAD}$, то есть равна ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Отсюда ${\displaystyle FB\parallel DE}$. Также ${\displaystyle FB=DE}$, то есть ${\displaystyle FBDE}$ — параллелограмм. Отсюда ${\displaystyle f=BD=FE}$. В ${\displaystyle \triangle AEF}$ угол ${\displaystyle \angle EAF=\angle A+\angle C}$ по построению. По теореме косинусов: ${\displaystyle f^{2}=\left({\frac {ac}{e}}\right)^{2}+\left({\frac {bd}{e}}\right)^{2}-{\frac {2abcd}{e^{2}}}\cos(\angle A+\angle C)}$. Умножением на ${\displaystyle e^{2}}$ получаем требуемое:${\displaystyle (ef)^{2}=(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)}$, ч. т. д. Следствия Если четырёхугольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается теорема Стюарта. Если четырёхугольник вырождается в треугольник и одна вершина попадает на середину стороны, то с учётом равенства основного угла и дополнительного также получается Теорема Аполлония. Если четырёхугольник вписан в окружность, то ${\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}}$. Тогда из предпоследней формулы выше следует первая теорема Птолемея: ${\displaystyle ef=ac+bd}$. Если D — центр описанной окружности треугольника ABC, то DA = DB = DC. Используя теорему об углах вписанных в окружность, получим теорему косинусов для треугольника ABC. См. также Теорема Птолемея Четырёхугольник Формула Брахмагупты Литература Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 85—86. — ISBN 5-94057-170-0.