Меню Главная Случайная статья Настройки Вычитание Материал из https://ru.wikipedia.org Вычитание (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (уменьшаемого и вычитаемого), результатом которой является новое число (разность)[1], получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»: ${\displaystyle a-b=c}$ . Вычитание — операция обратная сложению. В общем виде можно записать: ${\displaystyle {\overline {S}}(a,b)=c}$, где ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in A}$. То есть каждой паре элементов ${\displaystyle (a,b)}$ из множества ${\displaystyle A}$ ставится в соответствие элемент ${\displaystyle c=a-b}$, называемый разностью ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Вычитание возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип). При наличии отрицательных чисел, вычитание удобно рассматривать и определять как разновидность сложения — сложение с отрицательным числом[2]. К примеру, ${\displaystyle 5-2=3}$ можно рассматривать как сложение: ${\displaystyle 5+(-2)=3}$. На множестве вещественных чисел область значений функции сложения графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклонённой к осям на 45° угловых градусов. У вычитания есть несколько важных свойств, например для ${\displaystyle A=}$${\displaystyle \mathbb {R} }$: Антикоммутативность: ${\displaystyle a-b\neq b-a,\quad \forall a,b\in \ A.}$ Неассоциативность: ${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \exists a,b,c\in \ A.}$ Дистрибутивность: ${\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.}$ Вычитание ${\displaystyle 0}$ (нулевого элемента) даёт число равное исходному: ${\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.}$ В качестве примера, на картинке справа запись ${\displaystyle 5-2=3}$ обозначает пять яблок вычесть два яблока, что в результате даёт три яблока. Заметим, что нельзя вычесть например из 5 яблок 2 груши. Помимо счёта яблок, вычитание также может представлять разность других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие. Содержание 1 Формы записи и терминология 2 Свойства 3 Выполнение вычитания 4 Вычитание чисел 4.1 Натуральные числа 4.2 Целые числа 4.3 Рациональные числа 4.4 Вещественные числа 4.5 График 4.6 Комплексные числа 4.7 Экспоненциальная запись 4.8 Вычитание произвольных чисел 5 Особенности обучения вычитанию школьников 6 См. также 7 Примечания 8 Литература Формы записи и терминология Вычитание записывается с использованием символа «минус»: «${\displaystyle -}$» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте символ «минус» является бинарным оператором. Результат записывается с использованием знака равенства «${\displaystyle =}$», например: ${\displaystyle a-b=c}$ ; ${\displaystyle 6-3=3}$ («шесть минус три равно три») ; ${\displaystyle 64-35=29}$ («шестьдесят четыре минус тридцать пять равно двадцать девять») . На письме символ «минус» очень похож на другие письменные символы «дефис», «тире» и другие. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочного истолкования символа. Свойства Операция вычитание на числовых множествах ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$ имеет следующие основные свойства: Вычитание антикоммутативно — от перемены мест аргументов разность изменяется: Антикоммутативность: ${\displaystyle a-b\neq b-a,\quad \forall a,b\in \ A.}$ Вычитание антиассоциативно — при последовательном выполнении вычитания трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится: Неассоциативность: ${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \forall a,b,c\in \ A.}$ Вычитание дистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как распределительный закон[4] . Дистрибутивность: ${\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.}$ Относительно вычитания в множестве ${\displaystyle A}$ существует единственный нейтральный элемент, вычитание из числа нулевого (или нейтрального элемента) даёт число равное исходному: Нулевой элемент: ${\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.}$ Вычитание нуля идемпотентно — повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное: Идемпотентность: ${\displaystyle x=x-0=(x-0)-0=((x-0)-0)-...-0,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A}$; Вычитание противоположного элемента даёт удвоенное число: ${\displaystyle a-(-a)=a+a=2a,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.}$ Результат вычитания не всегда является определённым для множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$: чтобы получить натуральное число в результате вычитания, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Невозможно в рамках натуральных чисел вычесть из меньшего числа большее. Операция вычитания чисел определённых на множествах ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$ даёт число (разность) принадлежащее этому же множеству, следовательно операция вычитание относится к замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из данного множества чисел), то есть множества чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$ образуют кольца относительно операции вычитания. Выполнение вычитания Операцию вычитания можно представить, как некий «чёрный ящик» с уменьшаемым и вычитаемым на входе и одним выходом — разностью: При практическом решении задачи вычитания двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое вычитание», заём, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы вычитания, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного вычитания. При этом следует рассматривать вычитание как процедуру, в отличие от операции. Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при вычитании больших чисел может занять продолжительное время. «Простое вычитание» — в данном контексте обозначает операцию вычитания чисел меньше двадцати, которая может быть легко сведена к декрементированию. Является гипероператором декрементирования: ${\displaystyle a-b=\operatorname {hyper-1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-1,b)=a^{(-1)}b.}$ ${\displaystyle a{^{(-1)}}b=a-b=\underbrace {1+1+\dots +1} _{a}\underbrace {-1-1-\dots -1} _{b}.}$ где: ${\displaystyle 1+1+\dots +1}$ — последовательность операций инкрементирования, выполненная ${\displaystyle a}$ раз; ${\displaystyle -1-1-\dots -1}$ — последовательность операция декрементирования, выполненная ${\displaystyle b}$ раз. Чтобы упростить и ускорить процесс вычитания используют табличный метод «простого вычитания», для этого заранее вычисляют все комбинации разностей чисел от 18 до 0 и берут готовый результат из этой таблицы [5]: