Меню Главная Случайная статья Настройки Уравнение Кортевега — де Фриза Материал из https://ru.wikipedia.org Уравнение Кортевега — де Фриза (уравнение КдФ; также встречается написание де Вриза, де Вриса, де Фриса, Де Фриса; англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году[1], но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Врисом в 1895 году[2]. Уравнение имеет вид: ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0}$. Содержание 1 Решения 2 Интегралы движения и представление Лакса 3 Обобщения 4 Примечания 5 Литература Решения Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида: ${\displaystyle u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2}t-x_{0}\right)\right]}}}$, где ${\displaystyle \kappa }$ — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость; ${\displaystyle x_{0}}$ — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния. Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн[англ.], описываемых эллиптическими интегралами: ${\displaystyle x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2}}}du}$ где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период. Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве. Интегралы движения и представление Лакса Уравнение Кортевега — де Фриза имеет важное значение для теории интегрируемых систем как один из простейших примеров точно решаемого нелинейного дифференциального уравнения. Интегрируемость обеспечивается наличием у уравнения бесконечного количества интегралов движения, имеющих вид ${\displaystyle I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\partial _{x}u,\,\partial _{x}^{2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}$ где ${\displaystyle P_{n}}$ — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, заданные рекурсивно следующим образом: ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{aligned}}}$ Их можно получить, воспользовавшись представлением Лакса ${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[P,L]}$ посредством пары операторов ${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}.\end{aligned}}}$ Более того, можно показать, что уравнение Кортевега — де Фриза имеет бигамильтонову структуру. Несколько первых интегралов движения: масса ${\displaystyle \int u\,{\text{d}}x,}$ импульс ${\displaystyle \int u^{2}\,{\text{d}}x,}$ энергия ${\displaystyle \int \left[2u^{3}-\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x.}$ Обобщения При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза[англ.], имеющее вид ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$ где параметр ${\displaystyle \nu }$ характеризует величину диссипации. В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$ Примечания Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes (фр.). — 1877. — P. 360. — 680 p. D. J. Korteweg, G. de Vries. On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves (англ.) // Philosophical Magazine. — 1895. — Vol. 39. — P. 422—443. Литература Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления). Кортевега — де Фриса уравнение — статья из Физической энциклопедии