Меню Главная Случайная статья Настройки Центральный биномиальный коэффициент Материал из https://ru.wikipedia.org В математике n-й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентов ${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}}$ для всех ${\displaystyle n\geq 0}$. Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0: 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS Свойства Производящая функция: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}$ По формуле Стирлинга получаем: ${\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Полезные ограничения: ${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}}$ для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$ Если нужна большая точность: ${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)}$ где ${\displaystyle {\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}}$ для всех ${\displaystyle n\geq 1}$. С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, Cn. Их формула: ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}}$ для каждого ${\displaystyle n\geq 0}$. Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа ${\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}}$, для всех действительных n, при которых выражение определено, где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — это Гамма-функция, а ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ это Бета-функция. См. также Предположение Эрдёша о бесквадратности Ссылки Центральный биномиальный коэффициент на PlanetMath (англ) Биномиальный коэффициент на PlanetMath (англ) Треугольник Паскаля на PlanetMath (англ) Числа Каталана на PlanetMath (англ)