Меню Главная Случайная статья Настройки Линейно упорядоченное множество Материал из https://ru.wikipedia.org Линейно упорядоченное множество (ранее использовался термин цепь, сокр. ЛУМ) частично упорядоченное множество, в котором любая пара элементов сравнима, то есть для любых двух элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ имеет место ${\displaystyle a\leqslant b}$ или ${\displaystyle b\leqslant a}$. Одно из центральных понятий в теории порядков; играет важную роль в общей алгебре, в частности, особо изучаются упорядоченные группы, упорядоченные кольца, упорядоченные поля. Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств вполне упорядоченные множества. Связанные определения Сечением линейно упорядоченного множества ${\displaystyle P}$ называется разбиение его на два подмножества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ так, что ${\displaystyle A\cup B=P}$, ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ и для любых ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$: ${\displaystyle a\leqslant b}$. Классы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются соответственно нижним и верхним классами сечения. Различаются следующие типы сечений: скачок в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем наименьший; дедекиндово сечение в верхнем классе нет наименьшего элемента или в нижнем классе нет наибольшего, но не одновременно; щель в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем наименьшего. Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы. Подмножество ${\displaystyle D}$ линейно упорядоченного множества ${\displaystyle P}$ называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества ${\displaystyle P}$ содержит элементы, принадлежащие ${\displaystyle D}$. Свойства Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным. Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).[1] Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество, в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество. Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ с порядком, унаследованным от ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Решётка ${\displaystyle L}$ изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешетка является ретрактом. Примечания Наоборот верно всегда — наибольший элемент в любом множестве является максимальным