Меню Главная Случайная статья Настройки Упорядоченная группа Материал из https://ru.wikipedia.org Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Вообще говоря, группа может быть не коммутативной. Теория упорядоченных групп объединяет методы теории групп и теории порядка, является разделом абстрактной алгебры и проникает в теорию одномерных динамических систем. Содержание 1 Коммутативная упорядоченная группа 1.1 Определение 1.2 Связанные определения 1.3 Свойства 1.4 Архимедовость 1.5 Положительные и отрицательные элементы 1.6 Конструктивное построение порядка 1.7 Абсолютная величина 1.8 Примеры 2 Некоммутативная группа 3 Примечания 4 Литература Коммутативная упорядоченная группа Далее в этом разделе группа считается аддитивной, то есть групповая операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом ${\displaystyle 0}$. Определение Пусть ${\displaystyle G}$ — коммутативная группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами: Рефлексивность: ${\displaystyle x\leqslant x}$. Транзитивность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$, то ${\displaystyle x\leqslant z}$. Антисимметричность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant x}$, то ${\displaystyle x=y}$. Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых ${\displaystyle x,y}$ либо ${\displaystyle x\leqslant y}$, либо ${\displaystyle y\leqslant x}$. Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией: Если ${\displaystyle x\leqslant y}$, то для любого z справедливы соотношения: ${\displaystyle x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.}$ Если все пять аксиом выполнены, то группа ${\displaystyle G}$ называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной. Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа[1]. Связанные определения Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения: Отношение больше или равно: ${\displaystyle x\geqslant y}$ означает, что ${\displaystyle y\leqslant x}$. Отношение больше: ${\displaystyle x>y}$ означает, что ${\displaystyle x\geqslant y}$ и ${\displaystyle x\neq y}$. Отношение меньше: ${\displaystyle x<y}$ означает, что ${\displaystyle y>x}$. Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством. Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок. Подгруппа ${\displaystyle H}$ упорядоченной группы ${\displaystyle G}$ называется выпуклой, если все элементы ${\displaystyle g\in G}$, находящиеся между элементами ${\displaystyle H,}$ принадлежат ${\displaystyle H.}$ Формальная запись: если ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ и ${\displaystyle h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},}$ то ${\displaystyle g\in H.}$ Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной. Свойства Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать[2], например: Если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d,}$ то ${\displaystyle a+c<b+d}$ Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена[3]. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна. Архимедовость Порядок в группе называется архимедовым, если для любых ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle b>0}$ найдётся такое натуральное ${\displaystyle n,}$ что: ${\displaystyle \underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b}$ Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна[4]. Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент[4]. Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел[4]. Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп[1]. Положительные и отрицательные элементы Элементы, большие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если ${\displaystyle x\geqslant 0,}$ то, прибавив ${\displaystyle -x,}$ получим, что ${\displaystyle -x\leqslant 0.}$ Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль. Обозначим ${\displaystyle P}$ множество неотрицательных элементов. Тогда ${\displaystyle -P,}$ то есть множество элементов, противоположных элементам ${\displaystyle P,}$ содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств[5][1]. (P1) ${\displaystyle P}$ замкнуто относительно сложения. (P2) ${\displaystyle -P}$ имеет с ${\displaystyle P}$ ровно один общий элемент — ноль группы: ${\displaystyle P\cap (-P)=\{0\}.}$ (P3) ${\displaystyle (-g)+P+g\subset P}$ для любого ${\displaystyle g\in G.}$ (P4) ${\displaystyle P\cup (-P)=G.}$ Конструктивное построение порядка Один из способов определить в произвольной группе ${\displaystyle G}$ линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4]. Пусть такое ${\displaystyle P}$ выделено. Определим линейный порядок в ${\displaystyle G}$ следующим образом[5]: ${\displaystyle x\leqslant y}$, если ${\displaystyle y-x\in P}$ (отметим, что из свойства (P3) следует, что если ${\displaystyle y-x\in P,}$ то и ${\displaystyle -x+y\in P,}$ даже если группа не коммутативна). Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры[5]. Абсолютная величина Определим абсолютную величину элементов группы: ${\displaystyle |x|=max(x,-x).}$ Здесь функция ${\displaystyle max}$ осуществляет выбор наибольшего значения. Свойства абсолютной величины[6]: ${\displaystyle |x|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0.}$ Для всех ненулевых ${\displaystyle x}$ и только для них ${\displaystyle |x|>0.}$ Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: ${\displaystyle |x|=|-x|.}$ Неравенство треугольника: ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|.}$ ${\displaystyle |x|\leqslant y}$ равносильно ${\displaystyle -y\leqslant x\leqslant y.}$ Примеры Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком. Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком. Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.}$ Определим в ней множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу[7]. Определим в аддитивной группе ${\displaystyle G}$ всех комплексных чисел множество ${\displaystyle P}$ неотрицательных элементов следующим образом: ${\displaystyle a+bi\in P,}$ если либо ${\displaystyle a>0,}$ либо ${\displaystyle a=0;b\geqslant 0.}$ Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает ${\displaystyle G}$ в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком[8]. В ней, например, ${\displaystyle 0<i<1,}$ причём сумма любого количества ${\displaystyle i}$ всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на ${\displaystyle i}$ неравенство ${\displaystyle i>0,}$ мы получим ошибочное неравенство ${\displaystyle -1>0}$. Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя. Некоммутативная группа Для некоммутативной группы определение порядка следующее. Частичный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ на группе ${\displaystyle (G,\ast )}$ называется правоинвариантным, если для любых ${\displaystyle x,y,z\in G}$ из ${\displaystyle x\leqslant y}$ следует ${\displaystyle x\ast z\leqslant y\ast z}$, левоинвариантным, если для любых ${\displaystyle x,y,z\in G}$ из ${\displaystyle x\leqslant y}$ следует ${\displaystyle z\ast x\leqslant z\ast y}$, двусторонне инвариантным, если он является и правоинвариантным, и левоинвариантным. Группа называется правоупорядочиваемой или левоупорядочиваемой, если на ней можно ввести, соответственно, правоинвариантный или левоинвариантный линейный порядок. А если на группе можно ввести двусторонне инвариантный линейный порядок, то её называют двусторонне упорядочиваемой, линейно упорядочиваемой или просто упорядочиваемой[9]. В случае абелевых групп данные понятия совпадают. Группа правоупорядочиваема тогда и только тогда, когда она левоупорядочиваема. А именно, порядок ${\displaystyle \leqslant }$ является правоинвариантным тогда и только тогда, когда порядок ${\displaystyle \leqslant ^{\prime }}$, заданный по правилу ${\displaystyle x\leqslant ^{\prime }y\Longleftrightarrow y^{-1}\leqslant x^{-1}}$, является левоинвариантным. Таким образом, для установления общих свойств упорядоченных групп достаточно рассматривать только правоинвариантные порядки. При этом существуют группы, являющиеся правоупорядочиваемыми, но не двусторонне упорядочиваемыми. Например, группы кос. Также в литературе рассматривают различные ослабления вышеуказанных свойств. Например, ослабление требования линейности порядка приводит к понятию частично упорядоченной группы. Примечания 1 2 3 Математическая энциклопедия, 1982. Нечаев, 1975, с. 85, теорема 5.2.1. Нечаев, 1975, с. 87, теорема 5.2.6. 1 2 3 Кокорин, Копытов, 1972, с. 27—28. 1 2 3 Фукс, 1965, с. 25—26. Бурбаки, 1965, с. 253—255. Кокорин, Копытов, 1972, с. 13. Фукс, 1965, с. 29. Копытов и Медведев, 1996. Литература Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — 300 с..