Меню Главная Случайная статья Настройки Число Пелля Материал из https://ru.wikipedia.org Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: ${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},\dots }$, то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82. Обе последовательности, числа Пелля и сопутствующие числа Пелля, могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, похожего на формулы для чисел Фибоначчи, и обе последовательности чисел растут экспоненциально, пропорционально степени серебряного сечения ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$. Кроме использования в цепной дроби приближений к квадратному корню из двух, числа Пелля могут быть использованы для поиска квадратных треугольных чисел и для решения некоторых комбинаторных задач перечисления[1]. Последовательность чисел Пелля известна с древних времен. Как и уравнение Пелля, числа Пелля ошибочно приписаны Леонардом Эйлером Джону Пеллю. Числа Пелля — Люка названы в честь Эдуарда Люка, который изучал эти последовательности. И числа Пелля, и сопутствующие числа Пелля, являются частными случаями последовательностей Люка. Содержание 1 Числа Пелля 2 Приближение к квадратному корню из двух 3 Простые и квадраты 4 Пифагоровы тройки 5 Числа Пелля — Люка 6 Вычисления и связи 6.1 Определения 6.2 Приближения 6.3 H2  2P2 = ±1 6.4 Квадратные треугольные числа 6.5 Триплеты Пифагора 7 Примечания 8 Литература 9 Ссылки Числа Пелля Числа Пелля задаются линейным рекуррентным соотношением: ${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\1,n=1\\2P_{n-1}+P_{n-2},n>1\end{cases}}}$ и являются частным случаем последовательности Люка. Первые несколько чисел Пелля[2]: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13 860, 33 461, 80 782, 195 025, 470 832, 1 136 689, 2 744 210, 6 625 109, 15 994 428, 38 613 965, 93 222 358, 225 058 681, 543 339 720, 1 311 738 121, 3 166 815 962, 7 645 370 045, 18 457 556 052, 44 560 482 149, 107 578 520 350, 259 717 522 849, … Числа Пелля можно выразить формулой: ${\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}}$. Для больших значений ${\displaystyle n}$ член ${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$ доминирует в этом выражении, так что числа Пелля примерно пропорциональны степеням серебряного сечения ${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})}$, аналогично тому, как числа Фибоначчи примерно пропорциональны степеням золотого сечения. Возможно и третье определение — в виде матричной формулы: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}}$. Многие тождества могут быть доказаны из этих определений, например тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи: ${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n}}$, как непосредственное следствие матричной формулы (подставляя определители матриц слева и справа). Приближение к квадратному корню из двух Числа Пелля возникли исторически из рациональных приближений к квадратному корню из 2. Если два больших целых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ дают решение уравнения Пелля: ${\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1}$, то их отношение ${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}$ даёт близкое приближение к ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$. Последовательность приближений этого вида: ${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$, где знаменатель каждой дроби — число Пелля, а числитель равен сумме числа Пелля и его предшественника в последовательности. Таким образом, приближения имеют вид ${\displaystyle {\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}}$. Приближение: ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$ было известно математикам Индии в III—IV столетии до нашей эры. Платон ссылается на числители как «рациональные диаметры»[3]. Во втором столетии нашей эры Теон Смирнский использовал термины «сторона и диаметр» для описания знаменателя и числителя этой последовательности[4]. Эти приближения могут быть получены из цепной дроби ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$: ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$ Конечная часть цепной дроби даёт аппроксимацию в виде чисел Пелля. Например: ${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}}$. Как писал Кнут (1994), факт приближения числами Пелля ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ позволяет использовать их для рационального приближения к правильному восьмиугольнику с координатами вершин ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i+1})}$ и ${\displaystyle (\pm P_{i+1},\pm P_{i})}$. Все вершины этого восьмиугольника одинаково удалены от центра и формируют почти одинаковые углы. Также точки ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$, ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ и ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$ формируют восьмиугольник, у которого вершины почти одинаково удалены от центра и формируют одинаковые углы. Простые и квадраты Простым числом Пелля называется число Пелля, являющееся также простым. Несколько первых простых чисел Пелля[5]: 2, 5, 29, 5741, 33 461, 44 560 482 149, 1 746 860 020 068 409, 68 480 406 462 161 290 000, 13 558 774 610 046 710 000 000, 4 125 636 888 562 549 000 000 000 000 000 000, 4 760 981 394 323 204 000 000 000 000 000 000 000, … Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелля ${\displaystyle P_{n}}$ может быть простым только если ${\displaystyle n}$ само просто. Имеется всего три числа Пелля, являющимися квадратами, кубами и другими более высокими степенями, — это 0, 1 и 169 = 132[6]. Несмотря на то, что имеется столь мало квадратов и других степеней среди чисел Пелля, они имеют близкую связь с квадратными треугольными числами[7]. Эти числа возникают из следующего тождества: ${\displaystyle {\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$ Левая часть этого тождества даёт квадратное число, в то время как правая часть даёт треугольное число, так что в результате получим квадратное треугольное число. Сантана (Santana) и Диац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) доказали другое тождество, связывающее числа Пелля с квадратами, показав, что сумма чисел Пелля до ${\displaystyle P_{4n+1}}$ всегда квадрат: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.}$ Например, сумма чисел Пелля до ${\displaystyle P_{5}}$, ${\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49}$, является квадратом числа ${\displaystyle P_{2}+P_{3}=2+5=7}$. Числа ${\displaystyle P_{2n}+P_{2n+1}}$, образующие квадратные корни таких сумм, 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47 321, 275 807, 1 607 521, 9 369 319, 54 608 393, 318 281 039, 1 855 077 841, 10 812 186 007, 63 018 038 201, 367 296 043 199, 2 140 758 220 993, 12 477 253 282 759, 72 722 761 475 561, 423 859 315 570 607, 2 470 433 131 948 081, 14 398 739 476 117 880, 83 922 003 724 759 200, … (последовательность A002315 в OEIS), известны как простые числа Ньюмена — Шэнкса — Уильямса. Пифагоровы тройки Если прямоугольный треугольник имеет стороны a, b, c (по теореме Пифагора a2+b2=c2), то (a,b,c) известны как пифагоровы тройки. Мартин (Martin) (1875) пишет, что числа Пелля могут быть использованы для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отличаются на единицу, что соответствует почти равнобедренному прямоугольному треугольнику. Каждая такая тройка имеет вид ${\displaystyle (2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).}$ Последовательность пифагоровых троек, полученного таким способом (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), …. Числа Пелля — Люка Сопутствующие числа Пелля или числа Пелля — Люка определяются линейным рекуррентным соотношением: ${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2,n=0\\2,n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2},n>1\end{cases}}}$ То есть, первые два числа в последовательности равны 2, а все остальные формируются как сумма удвоенного предыдущего числа Пелля — Люка и предшествующего ему, или, что эквивалентно, сложением следующего числа Пелля и предыдущего числа. Так, сопровождающим для 82 является число 29, и 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12. Сопутствующие числа Пелля образуют последовательность[8]: 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, 16 238, 39 202, 94 642, 228 486, 551 614, 1 331 714, 3 215 042, 7 761 798, 18 738 638, 45 239 074, 109 216 786, 263 672 646, 636 562 078, 1 536 796 802, 3 710 155 682, 8 957 108 166, 21 624 372 014, 52 205 852 194, 126 036 076 402, 304 278 004 998, … Сопутствующие числа Пелля можно выразить формулой: ${\displaystyle Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}$. Все эти числа чётны, каждое из них является удвоенным числителем в приближении рациональными числами к ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$. Вычисления и связи Следующая таблица даёт несколько первых степеней серебряного сечения ${\displaystyle \delta =\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}}$ и связанного с ним ${\displaystyle {\bar {\delta }}=1-{\sqrt {2}}}$. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$ ${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}}$ 0 ${\displaystyle 1+0{\sqrt {2}}=1.0}$ ${\displaystyle 1-0{\sqrt {2}}=1.0}$ 1 ${\displaystyle 1+1{\sqrt {2}}=2.41421\ldots }$ ${\displaystyle 1-1{\sqrt {2}}=-0.41421\ldots }$ 2 ${\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}=5.82842\ldots }$ ${\displaystyle 3-2{\sqrt {2}}=0.17157\ldots }$ 3 ${\displaystyle 7+5{\sqrt {2}}=14.07106\ldots }$ ${\displaystyle 7-5{\sqrt {2}}=-0.07106\ldots }$ 4 ${\displaystyle 17+12{\sqrt {2}}=33.97056\ldots }$ ${\displaystyle 17-12{\sqrt {2}}=0.02943\ldots }$ 5 ${\displaystyle 41+29{\sqrt {2}}=82.01219\ldots }$ ${\displaystyle 41-29{\sqrt {2}}=-0.01219\ldots }$ 6 ${\displaystyle 99+70{\sqrt {2}}=197.99494\ldots }$ ${\displaystyle 99-70{\sqrt {2}}=0.00505\ldots }$ 7 ${\displaystyle 239+169{\sqrt {2}}=478.00209\ldots }$ ${\displaystyle 239-169{\sqrt {2}}=-0.00209\ldots }$ 8 ${\displaystyle 577+408{\sqrt {2}}=1153.99913\ldots }$ ${\displaystyle 577-408{\sqrt {2}}=0.00086\ldots }$ 9 ${\displaystyle 1393+985{\sqrt {2}}=2786.00035\ldots }$ ${\displaystyle 1393-985{\sqrt {2}}=-0.00035\ldots }$ 10 ${\displaystyle 3363+2378{\sqrt {2}}=6725.99985\ldots }$ ${\displaystyle 3363-2378{\sqrt {2}}=0.00014\ldots }$ 11 ${\displaystyle 8119+5741{\sqrt {2}}=16238.00006\ldots }$ ${\displaystyle 8119-5741{\sqrt {2}}=-0.00006\ldots }$ 12 ${\displaystyle 19601+13860{\sqrt {2}}=39201.99997\ldots }$ ${\displaystyle 19601-13860{\sqrt {2}}=0.00002\ldots }$ 13 ${\displaystyle 47321+33461{\sqrt {2}}=94642.00001\ldots }$ ${\displaystyle 47321-33461{\sqrt {2}}=-0.00001\ldots }$ 14 ${\displaystyle 114243+80782{\sqrt {2}}=228425.99999\ldots }$ ${\displaystyle 114243-80782{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ 15 ${\displaystyle 275807+195025{\sqrt {2}}=551614.00000\ldots }$ ${\displaystyle 275807-195025{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$ 16 ${\displaystyle 665857+470832{\sqrt {2}}=1331713.99999\ldots }$ ${\displaystyle 665857-470832{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ 17 ${\displaystyle 1607521+1136689{\sqrt {2}}=3215042.00000\ldots }$ ${\displaystyle 1607521-1136689{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$ 18 ${\displaystyle 3880899+2744210{\sqrt {2}}=7761797.99999\ldots }$ ${\displaystyle 3880899-2744210{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ 19 ${\displaystyle 9369319+6625109{\sqrt {2}}=18738638.00000\ldots }$ ${\displaystyle 9369319-6625109{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$ 20 ${\displaystyle 22619537+15994428{\sqrt {2}}=45239073.99999\ldots }$ ${\displaystyle 22619537-15994428{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ 21 ${\displaystyle 54608393+38613965{\sqrt {2}}=109216786.00000\ldots }$ ${\displaystyle 54608393-38613965{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$ 22 ${\displaystyle 131836323+93222358{\sqrt {2}}=263672645.99999\ldots }$ ${\displaystyle 131836323-93222358{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ 23 ${\displaystyle 318281039+225058681{\sqrt {2}}=636563678.00000\ldots }$ ${\displaystyle 318281039-225058681{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$ 24 ${\displaystyle 768398401+543339720{\sqrt {2}}=1536796801.99999\ldots }$ ${\displaystyle 768398401-543339720{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ 25 ${\displaystyle 1855077841+1311738121{\sqrt {2}}=3710155682.00000\ldots }$ ${\displaystyle 1855077841-1311738121{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$ 26 ${\displaystyle 4478554083+3166815962{\sqrt {2}}=8957108165.99999\ldots }$ ${\displaystyle 4478554083-3166815962{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ 27 ${\displaystyle 10812186007+7645370045{\sqrt {2}}=21624372014.00000\ldots }$ ${\displaystyle 10812186007-7645370045{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$ 28 ${\displaystyle 26102926097+18457556052{\sqrt {2}}=52205852193.99999\ldots }$ ${\displaystyle 26102926097-18457556052{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ 29 ${\displaystyle 63018038201+44560482149{\sqrt {2}}=126036076402.00000\ldots }$ ${\displaystyle 63018038201-44560482149{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$ 30 ${\displaystyle 152139002499+107578520350{\sqrt {2}}=304278004997.99999\ldots }$ ${\displaystyle 152139002499-107578520350{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ 31 ${\displaystyle 367296043199+259717522849{\sqrt {2}}=734592086398.00000\ldots }$ ${\displaystyle 367296043199-259717522849{\sqrt {2}}=-0.00000\ldots }$ 32 ${\displaystyle 886731088897+627013566048{\sqrt {2}}=1773462177793.99999\ldots }$ ${\displaystyle 886731088897-627013566048{\sqrt {2}}=0.00000\ldots }$ Коэффициенты представляют собой половины сопутствующих чисел Пелля ${\displaystyle H_{n}}$ и числа Пелля ${\displaystyle P_{n}}$, являющиеся неотрицательными решениями уравнения ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=\pm 1}$. Квадратное треугольное число — это число ${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$, которое является как ${\displaystyle t}$-м треугольным числом так и ${\displaystyle s}$-м квадратным. Почти равнобедеренные пифагоровы тройки являются целыми решениями ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, где ${\displaystyle a+1=b}$. Следующая таблица показывает разложение нечетных ${\displaystyle H_{n}}$ на две почти одинаковые половинки, дающее квадратное треугольное число когда n четно и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетно. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ t t+1 s a b c 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 2 3 2 1 2 1 3 7 5 3 4 5 4 17 12 8 9 6 5 41 29 20 21 29 6 99 70 49 50 35 7 239 169 119 120 169 8 577 408 288 289 204 9 1393 985 696 697 985 10 3363 2378 1681 1682 1189 11 8119 5741 4059 4060 5741 12 19601 13860 9800 9801 6930 13 47321 33461 23660 23661 33461 14 114243 80782 57121 57122 40391 15 275807 195025 137903 137904 195025 16 665857 470832 332928 332929 235416 17 1607521 1136689 803760 803761 1136689 18 3880899 2744210 1940449 1940450 1372105 19 9369319 6625109 4684659 4684660 6625109 20 22619537 15994428 11309768 11309769 7997214 21 54608393 38613965 27204196 27204197 38613965 22 131836323 93222358 65918161 65918162 46611179 23 318281839 225058681 159140919 159140920 225058681 24 768398401 543339720 384199200 384199201 271669860 25 1855077841 1311738121 927538920 927538921 1311738121 26 4478554083 3166815962 2239277041 2239277042 1583407981 27 10812186007 7645370045 5406093003 5406093004 7645370045 28 26102926097 18457556052 13051463048 13051463049 9228778026 29 63018038201 44560482149 31509019100 31509019101 44560482149 30 152139002499 107578520350 76069501249 76069501250 53759260175 31 367296043199 259717522849 183648021599 183648021600 259717522849 32 886731088897 627013566048 443365544448 443365544449 313506783024 Определения Половины сопутствующих чисел Пелля ${\displaystyle H_{n}}$ и числа Пелля ${\displaystyle P_{n}}$ могут быть получены несколькими эквивалентными путями: Возведение в степень: ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$ Откуда следует: ${\displaystyle H_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$ и ${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.}$ Парные рекуррентные отношения: ${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1,n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1},n>0\end{cases}}}$ ${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0,n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1},n>0\end{cases}}}$ или, в матричном виде: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$ Таким образом ${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$ Приближения Разность ${\displaystyle H_{n}}$ и ${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}}$ равна ${\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}\approx (-0.41421)^{n}}$, что быстро стремится к нулю. Таким образом ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$ очень близко к ${\displaystyle 2H_{n}}$. Из этого наблюдения следует, что отношение целых ${\displaystyle {\frac {H_{n}}{P_{n}}}}$ быстро приближается к ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ в то время как ${\displaystyle {\frac {H_{n}}{H_{n-1}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}}$ быстро приближается к ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$. H2 2P2= ±1 Поскольку ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ является иррациональным, мы не можем получить ${\displaystyle {\frac {H}{P}}=2}$, то есть ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}}$. Лучшее, что мы можем получить, это либо ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}}$ либо ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}}$. Неотрицательными решениями ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=1}$ являются пары ${\displaystyle H_{n},P_{n}}$ с четным n, и решениями ${\displaystyle H^{2}-2P^{2}=-1}$ являются пары ${\displaystyle H_{n},P_{n}}$ с n нечетным. Чтобы понять это, заметим ${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=(H_{n}+2P_{n})^{2}-2(H_{n}+P_{n})^{2}=-(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2})}$ так что, начиная с ${\displaystyle H_{0}^{2}-2P_{0}^{2}=1}$ знак чередуется (${\displaystyle 1,-1}$). Заметим теперь, что каждое положительное решение можно получить из решения с меньшим индексом благодаря равенству ${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-(H^{2}-2P^{2})}$. Квадратные треугольные числа Требуемое равенство ${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$ эквивалентно ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1}$, что превращается в ${\displaystyle H^{2}=2P^{2}+1}$ при подстановке ${\displaystyle H=2t+1}$ и ${\displaystyle P=2s}$. Отсюда n-м решением будет ${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}}$ и ${\displaystyle s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$ Заметим, что ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle t+1}$ взаимно просты, так что ${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$ возможно только тогда, когда они являются соседними целыми, одно — квадрат ${\displaystyle H^{2}}$ и другое — удвоенный квадрат ${\displaystyle 2P^{2}}$. Поскольку мы знаем все решения уравнения, мы получаем ${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&n\equiv 0{\pmod {2}}\\H_{n}^{2}&n\equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}}$ и ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ t t+1 s a b c 0 1 0 1 1 1 1 2 1 1 0 1 2 3 2 8 9 6 3 4 5 3 7 5 49 50 35 21 20 29 4 17 12 288 289 204 119 120 169 5 41 29 1681 1682 1189 697 696 985 6 99 70 9800 9801 6930 4059 4060 5741 7 239 169 57121 57122 40391 23660 23661 33461 8 577 408 332928 332929 235416 137903 137904 195025 9 1393 985 1940449 1940450 1372105 803760 803761 1136689 10 3363 2378 11309768 11309769 7997214 4684659 4684660 6625109 11 8119 5741 65918161 65918162 46611179 27204196 27204197 38613965 12 19601 13860 384199200 384199201 271669860 159140919 159140920 225058681 13 47321 33461 2239277041 2239277042 1583407981 927538920 927538921 1311738121 14 114243 80782 13051463048 13051463049 9228778026 5406093003 5406093004 7645370045 15 275807 195025 76069501249 76069501250 53759260175 31509019100 31509019101 44560482149 16 665857 470832 443365544448 443365544449 313506783024 183648021599 183648021600 259717522849 Триплеты Пифагора Равенство ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+(a+1)^{2}=2a^{2}+2a+1}$ верно только при ${\displaystyle 2c^{2}=4a^{2}+4a+2}$, что превращается в ${\displaystyle 2P^{2}=H^{2}+1}$ при подстановке ${\displaystyle H=2a+1{\mbox{ and }}P=c}$. Тогда n-м решением является ${\displaystyle a_{n}={\frac {H_{2n+1}-1}{2}}}$ и ${\displaystyle c_{n}={P_{2n+1}}.}$ Таблица выше показывает, что с точностью до порядка ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}=a_{n}+1}$ равны ${\displaystyle H_{n}H_{n+1}}$ и ${\displaystyle 2P_{n}P_{n+1}}$ , в то время как ${\displaystyle c_{n}=H_{n+1}P_{n}+P_{n+1}H_{n}.}$ Примечания Например, Селлерс (Sellers) в 2002 году показал, что количество совершенных паросочетаний в декартовом произведении путей и графа K4-e может быть вычислено как произведение числа Пелля на соответствующие число Фибоначчи последовательность A000129 в OEIS Например, в «Государстве» Платона имеется ссылка на «рациональный диаметр пяти», под которым Платон подразумевал 7, числитель приближения 7/5. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books  (неопр.). Дата обращения: 28 января 2013. последовательность A086383 в OEIS Peth (1992); Cohn (1996). Хотя числа Фибоначчи определяются рекуррентными формулами, очень похожими на формулы для чисел Пелля, Кон (Cohn) пишет, что аналогичные результаты для чисел Фибоначчи куда сложнее доказать (однако, они доказаны в 2006 году Бугеадом [Bugeaud]). Sesskin (1962). последовательность A002203 в OEIS Литература Bicknell, Marjorie. A primer on the Pell sequence and related sequences // Fibonacci Quarterly. — 1975. — Т. 13, вып. 4. — С. 345—349. Cohn, J. H. E. Perfect Pell powers // Glasgow Mathematical Journal. — 1996. — Т. 38, вып. 1. — С. 19—20. — doi:10.1017/S0017089500031207. Dutka, Jacques. On square roots and their representations // Archive for History of Exact Sciences. — 1986. — Т. 36, вып. 1. — С. 21—39. — doi:10.1007/BF00357439. Ercolano, Joseph. Matrix generators of Pell sequences // Fibonacci Quarterly. — 1979. — Т. 17, вып. 1. — С. 71—77. Filep, Lszl. Pythagorean side and diagonal numbers // Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyregyhziensis. — 1999. — Т. 15. — С. 1–7. Horadam, A. F. Pell identities // Fibonacci Quarterly. — 1971. — Т. 9, вып. 3. — С. 245—252, 263. Kilic, Emrah; Tasci, Dursun. The linear algebra of the Pell matrix // Boletn de la Sociedad Matemtica Mexicana, Tercera Serie. — 2005. — Т. 11, вып. 2. — С. 163—174. Knorr, Wilbur. Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation // Archive for History of Exact Sciences. — 1976. — Т. 15, вып. 2. — С. 115—140. — doi:10.1007/BF00348496. Knorr, Wilbur. "Rational diameters" and the discovery of incommensurability // American Mathematical Monthly. — 1998. — Т. 105, вып. 5. — С. 421—429. — doi:10.2307/3109803. Knuth, Donald E. Leaper graphs // The Mathematical Gazette. — 1994. — Т. 78, вып. 483. — С. 274—297. — doi:10.2307/3620202. — arXiv:math.CO/9411240. Martin, Artemas. Rational right angled triangles nearly isosceles // The Analyst. — 1875. — Т. 3, вып. 2. — С. 47—50. — doi:10.2307/2635906. — . Peth, A. Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991). — Colloq. Math. Soc. Jnos Bolyai, 60, North-Holland, 1992. — С. 561—568. Ridenhour, J. R. Ladder approximations of irrational numbers // Mathematics Magazine. — Т. 59, вып. 2. — С. 95—105. — doi:10.2307/2690427. — . Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L. Some properties of sums involving Pell numbers // Missouri Journal of Mathematical Sciences. — 2006. — Т. 18, вып. 1. Архивировано 8 мая 2007 года. Sellers, James A. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences. — 2002. — Т. 5. Sesskin, Sam. A «converse» to Fermat's last theorem? // Mathematics Magazine. — 1962. — Т. 35, вып. 4. — С. 215—217. — doi:10.2307/2688551. — . Thibaut, George. On the Slvastras // Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal. — 1875. — Т. 44. — С. 227—275. Thompson, D'Arcy Wentworth. III.—Excess and defect: or the little more and the little less // Mind: New Series. — 1929. — Т. 38, вып. 149. — С. 43—55. — . Vedova, G. C. Notes on Theon of Smyrna // American Mathematical Monthly. — 1951. — Т. 58, вып. 10. — С. 675—683. — doi:10.2307/2307978. — . Ссылки Weisstein, Eric W. Pell Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.