Меню Главная Случайная статья Настройки Гипероктаэдр Материал из https://ru.wikipedia.org Гипероктаэдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб[1], ортоплекс, кросс-политоп. Символ Шлефли n-мерного гипероктаэдра — {3;3;...;3;4}, где всего в скобках (n-1) число. Гипероктаэдр можно понимать как шар в метрике городских кварталов. Содержание 1 Частные случаи 2 Описание 3 В координатах 4 Метрические характеристики 5 Примечания 6 Ссылки Частные случаи Число измерений n Название фигуры Символ Шлефли Изображение 1 отрезок {} 2 квадрат {4} 3 октаэдр {3;4} 4 шестнадцатиячейник {3;3;4} 5 5-ортоплекс {3;3;3;4} Описание ${\displaystyle n}$-мерный гипероктаэдр имеет ${\displaystyle 2n}$ вершин; любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме (при ${\displaystyle n>1)}$ вершины, симметричной ей относительно центра политопа. Все его ${\displaystyle k}$-мерные гиперграни ${\displaystyle (k<n)}$ — одинаковые правильные симплексы; их число равно ${\displaystyle 2^{k+1}C_{n}^{k+1}.}$ Угол между двумя смежными ${\displaystyle (n-1)}$-мерными гипергранями (при ${\displaystyle n>1)}$ равен ${\displaystyle \arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$. ${\displaystyle n}$-мерный гипероктаэдр ${\displaystyle (n>1)}$ можно представить как две одинаковых правильных ${\displaystyle n}$-мерных пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями в форме ${\displaystyle (n-1)}$-мерного гипероктаэдра. В координатах ${\displaystyle n}$-мерный гипероктаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты ${\displaystyle (\pm 1;0;\ldots ;0),}$ ${\displaystyle (0;\pm 1;\ldots ;0),\ldots ,}$ ${\displaystyle (0;0;\ldots ;\pm 1).}$ При этом каждая из ${\displaystyle 2^{n}}$ его ${\displaystyle (n-1)}$-мерных гиперграней будет располагаться в одном из ${\displaystyle 2^{n}}$ ортантов ${\displaystyle n}$-мерного пространства. Начало координат ${\displaystyle (0;0;...;0)}$ будет центром симметрии политопа, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер. Поверхность гипероктаэдра будет геометрическим местом точек ${\displaystyle (x_{1};x_{2};\ldots ;x_{n}),}$ чьи координаты удовлетворяют уравнению ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|=1,}$ а внутренность — геометрическим место точек, для которых ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|<1.}$ Метрические характеристики Если ${\displaystyle n}$-мерный гипероктаэдр ${\displaystyle (n>1)}$ имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его ${\displaystyle n}$-мерный гиперобъём и ${\displaystyle (n-1)}$-мерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как ${\displaystyle V_{n}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{n}}{n!}},}$ ${\displaystyle S_{n-1}={\frac {a^{n-1}{\sqrt {n2^{n+1}}}}{(n-1)!}}.}$ Радиус описанной ${\displaystyle (n-1)}$-мерной гиперсферы (проходящей через все вершины) при этом будет равен ${\displaystyle R=\rho _{0}={\frac {a}{\sqrt {2}}},}$ радиус ${\displaystyle k}$-й полувписанной гиперсферы (касающейся всех ${\displaystyle k}$-мерных гиперграней в их центрах; ${\displaystyle k<n}$) — ${\displaystyle \rho _{k}={\frac {a}{\sqrt {2(k+1)}}},}$ радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ${\displaystyle (n-1)}$-мерных гиперграней в их центрах) — ${\displaystyle r=\rho _{n-1}={\frac {a}{\sqrt {2n}}}.}$ Примечания Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 44. (Архивная копия от 27 января 2021 на Wayback Machine) Ссылки Weisstein, Eric W. Гипероктаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.