Меню Главная Случайная статья Настройки Телесный угол Материал из https://ru.wikipedia.org Телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой . Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы: ${\displaystyle \Omega \,=\,{S \over R^{2}}.}$ Двойственный телесный угол к данному телесному углу Содержание 1 Единицы телесного угла 2 Вычисление телесных углов 3 Свойства телесных углов 4 Величины некоторых телесных углов 5 Литература 6 См. также 7 Примечания Единицы телесного угла Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса Телесный угол имеет нулевую физическую размерность. Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла. ${\displaystyle \Omega }$ Стерадиан (ср) Кв. градус (°) Кв. минута () Кв. секунда () Полный угол (спат) 1 стерадиан = 1 (180/ (18060/ (1806060/ 1/4 1 кв. градус = ( 1 60 = = 3600 кв. минут (6060) = = 12 960 000 кв. секунд /(2180)   2,424068105 полного угла 1 кв. минута = ( 1/60   2,7777778104 кв. градусов 1 60 = = 3600 кв. секунд 1 кв. секунда = ( 1/(6060)   7,71604938108 кв. градусов 1/60   2,7777778104 кв. минут 1 Полный угол = 4   12,5663706 стерадиан (2180)/   41252,96125 кв. градусов (218060)/   1,48511066108 кв. минут (21806060)/   5,346383781011 кв. секунд 1 Вычисление телесных углов Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол , под которым она видна из начала координат, равен ${\displaystyle \Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac {(\mathbf {r} /r)\cdot \mathbf {n} dS}{r^{2}}},}$ где ${\displaystyle r,\vartheta ,\varphi }$ — сферические координаты элемента поверхности ${\displaystyle dS,}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — его радиус-вектор, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — единичный вектор, нормальный к ${\displaystyle dS.}$ Свойства телесных углов Полный телесный угол (полная сфера) равен 4 стерадиан. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу. Величины некоторых телесных углов Треугольник с координатами вершин ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$ виден из начала координат под телесным углом ${\displaystyle \Omega =2\,\mathrm {arctg} \,{\frac {\left\vert (\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})\right\vert }{r_{1}r_{2}r_{3}+(\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2})r_{3}+(\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {r} _{3})r_{1}+(\mathbf {r} _{3}\cdot \mathbf {r} _{1})r_{2}}},}$ где ${\displaystyle (\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})}$ — смешанное произведение данных векторов, ${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})}$ — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники). Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора равен ${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).}$ Если известны радиус основания ${\displaystyle R}$ и высота ${\displaystyle H}$ конуса, то ${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2}}}}\right).}$ Когда угол раствора конуса мал, ${\displaystyle \Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}}$ (угол ${\displaystyle \alpha }$ выражен в радианах), или ${\displaystyle \Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2}}$ (угол ${\displaystyle \alpha }$ выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6105 стерадиан, или 0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла). Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах. Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы ${\displaystyle \theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}}$ при вершине, как: ${\displaystyle \Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}$ где ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$ — полупериметр. Через двугранные углы ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ телесный угол выражается как: ${\displaystyle \Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .}$ Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ полного телесного угла, или ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ стерадиан. Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$ полного телесного угла, или ${\displaystyle {\frac {4\pi }{N}}}$ стерадиан. Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода[2]: ${\displaystyle \Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\left({\frac {r-R}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k)\right)}$ при ${\displaystyle r\leq R,}$ ${\displaystyle \Omega ={\frac {2H}{L}}\left({\frac {r-R}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k)\right)}$ при ${\displaystyle r>R,}$ где ${\displaystyle K(k)}$ и ${\displaystyle \Pi (\alpha ^{2},k)}$ — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно; ${\displaystyle r}$ — расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания; ${\displaystyle H}$ — высота конуса; ${\displaystyle L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2}}}}$ — длина максимальной образующей конуса; ${\displaystyle k={\frac {\sqrt {4rR}}{L}};}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.}$ Литература Hopf H. Selected Chapters of Geometry // ETH Zrich lecture, pp. 1—2, 1940. Van Oosterom A., Strackee J. The Solid Angle of a Plane Triangle (англ.) // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1983. — Vol. 30. — P. 125—126. — ISSN 0018-9294. — doi:10.1109/TBME.1983.325207. — PMID 6832789. Weisstein E. W. Solid Angle. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Gardner R.P., Verghese K. On the solid angle subtended by a circular disc (англ.) // Nuclear Instruments and Methods. — 1971. — Vol. 93. — P. 163—167. — doi:10.1016/0029-554X(71)90155-8. — . См. также Угол Двугранный угол Трёхгранный угол Многогранный угол Примечания Грабовски Б. Справочник по электронике (рус.) / Пер. с фр. А. В. Хаванов. — 2-е изд., испр.. — М.: ДМК Пресс, 2009. — С. 18. — 416 с. Paxton F. Solid Angle Calculation for a Circular Disk (англ.) // Review of Scientific Instruments. — 1959. — April (vol. 30, no. 4). — P. 254—258. — doi:10.1063/1.1716590. — . Архивировано 7 августа 2017 года.