Ru.Wikipedia.Org - Кубооктаэдр

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Кубооктаэдр
Материал из https://ru.wikipedia.org

Кубооктаэдр^[1]^[2] или кубоктаэдр^[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 квадратов.

В каждой из его 12 одинаковых вершин сходятся две квадратных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен

\arccos \left(-{\frac {7}{9}}\right)\approx 0{,}78\pi .

Кубооктаэдр имеет 24 ребра равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен

\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)\approx 125{,}26^{\circ }.

Кубооктаэдр можно получить из куба, «срезав» с него 8 правильных треугольных пирамид; либо из октаэдра, «срезав» с него 6 квадратных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

Содержание

В координатах

Кубооктаэдр с длиной ребра

{\sqrt {2}}

можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел

(0;\;\pm 1;\;\pm 1).

Начало координат

(0;\;0;\;0)

будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если кубооктаэдр имеет ребро длины

a

, его площадь поверхности и объём выражаются как

S=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 9{,}4641016a^{2},

V={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 2{,}3570226a^{3}.

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R=a=1{,}0000000a,

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

\rho ={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\approx 0{,}8660254a.

Вписать в кубооктаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри кубооктаэдра с ребром

a

(она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

r_{4}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a.

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит

r_{4}

и равно

r_{3}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\;a\approx 0{,}8164966a.

Звёздчатые формы

Кубооктаэдр образует звёздчатые формы:

Исходный многогранник
Первая звёздчатая форма
Вторая звёздчатая форма
Третья звёздчатая форма
Четвёртая звёздчатая форма

Заполнение пространства

Одними только кубооктаэдрами замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений нельзя, но это можно сделать с помощью кубооктаэдров вместе с другими многогранниками:

Кубооктаэдры и октаэдры
Ромбокубоктаэдры, кубооктаэдры и кубы
Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры
Растянутые ромбододекаэдры, кубооктаэдры, октаэдры и треугольные призмы

В природе и культуре

Одним из символов компьютерной игры Elite стала космическая станция в форме кубооктаэдра с люком на квадратной грани^[4]. Впоследствии её внесли и в Elite: Dangerous^[5].

Кристалл синтетического алмаза под электронным микроскопом
Вариант кубика Рубика

Примечания

Веннинджер, 1974, с. 20, 35.
Люстерник, 1956, с. 183.
Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
Coriolis Station (Classic) в энциклопедии Elite Wiki (Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine)
Coriolis в энциклопедии Elite Dangerous Wiki (Архивная копия от 16 марта 2018 на Wayback Machine)

Литература

М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Кубооктаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.