Меню Главная Случайная статья Настройки Плоскость Материал из https://ru.wikipedia.org Плоскость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически[1]. Содержание 1 Некоторые характеристические свойства плоскости 2 Уравнения плоскости 3 Определение по точке и вектору нормали 4 Расстояние от точки до плоскости 5 Расстояние между параллельными плоскостями 6 Связанные понятия 7 Вариации и обобщения 7.1 Плоскости в неевклидовом пространстве 7.2 Многомерные плоскости 8 См. также 9 Примечания 10 Литература 11 Ссылки Некоторые характеристические свойства плоскости Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки; Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой. Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу. Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу. Уравнения плоскости Впервые встречается у А. К. Клеро (1731). Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818). Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861). Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени. Общее уравнение (полное) плоскости ${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)}$ где ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ — постоянные, причём ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C}$ одновременно не равны нулю; в векторной форме: ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0}$ где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор точки ${\displaystyle M(x,y,z)}$, вектор ${\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора ${\displaystyle \mathbf {N} }$: ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$ ${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$ ${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}$ Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При ${\displaystyle D=0}$ плоскость проходит через начало координат, при ${\displaystyle A=0}$ (или ${\displaystyle B=0}$, ${\displaystyle C=0}$) плоскость параллельна оси ${\displaystyle Ox}$ (соответственно ${\displaystyle Oy}$ или ${\displaystyle Oz}$). При ${\displaystyle A=B=0}$ (${\displaystyle A=C=0}$, или ${\displaystyle B=C=0}$) плоскость параллельна плоскости ${\displaystyle Oxy}$ (соответственно ${\displaystyle Oxz}$ или ${\displaystyle Oyz}$). Уравнение плоскости в отрезках: ${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}$ где ${\displaystyle a=-D/A}$, ${\displaystyle b=-D/B}$, ${\displaystyle c=-D/C}$ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях ${\displaystyle Ox,Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$. Уравнение плоскости, проходящей через точку ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ,перпендикулярной вектору нормали ${\displaystyle \mathbf {N} (A,B,C)}$: ${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}$ в векторной форме: ${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}$ Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ${\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}$, не лежащие на одной прямой: ${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0}$ (смешанное произведение векторов), иначе ${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.}$ Нормальное (нормированное) уравнение плоскости ${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)}$ в векторной форме: ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,}$ где ${\displaystyle \mathbf {N^{0}} }$- единичный вектор, ${\displaystyle p}$ — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель ${\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$ (знаки ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle D}$ противоположны). Определение по точке и вектору нормали В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней. Допустим, ${\displaystyle r_{0}}$ является радиусом-вектором точки ${\displaystyle P_{0}}$, заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка ${\displaystyle P}$ с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от ${\displaystyle P_{0}}$ к ${\displaystyle P}$, перпендикулярен n. Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что: ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$ (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.) Развернув выражение, мы получим: ${\displaystyle n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,}$ что является знакомым нам уравнением плоскости. Например: Дано: точка на плоскости ${\displaystyle P(2,6,-3)}$ и вектор нормали ${\displaystyle N(9,5,2)}$. Уравнение плоскости записывается так: ${\displaystyle 9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0}$ ${\displaystyle -18+9x-30+5y+6+2z=0}$ ${\displaystyle 9x+5y+2z-42=0}$ Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Отклонение точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}$ от плоскости заданной нормированным уравнением ${\displaystyle (2)}$ ${\displaystyle \delta >0}$,если ${\displaystyle M_{1}}$ и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае ${\displaystyle \delta <0}$. Расстояние от точки до плоскости равно ${\displaystyle |\delta |.}$ Расстояние ${\displaystyle \rho }$ от точки ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$, до плоскости, заданной уравнением ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, вычисляется по формуле: Расстояние между параллельными плоскостями Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями ${\displaystyle Ax+By+Cz+D_{1}=0}$ и ${\displaystyle Ax+By+Cz+D_{2}=0}$: Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями ${\displaystyle {\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{1}}})=0}$ и ${\displaystyle {\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{2}}})=0}$: Связанные понятия Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}};}$ Если в векторной форме, то ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )}{|\mathbf {N_{1}} ||\mathbf {N_{2}} |}}.}$ Плоскости параллельны, если ${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}}$ или ${\displaystyle [\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} ]=0.}$ (Векторное произведение) Плоскости перпендикулярны, если ${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0}$ или ${\displaystyle (\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )=0}$. (Скалярное произведение) Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид[2]:222: ${\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,}$ где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя =1, =0 и =0, =1. Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей[2]:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид: ${\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,}$ где ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя =1, =0, =0; =0, =1, =0 и =0, =0, =1 и решая получившуюся систему уравнений. Вариации и обобщения Плоскости в неевклидовом пространстве Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости[1]. Многомерные плоскости Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство ${\displaystyle K^{n}(V,P)}$, над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат ${\displaystyle O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}}$. m-плоскостью называется множество точек ${\displaystyle \alpha }$, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению ${\displaystyle \alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.}$ ${\displaystyle A_{nm}}$ — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, ${\displaystyle {\vec {t}}}$ — вектор переменных, ${\displaystyle {\vec {d}}}$ — радиус-вектор одной из точек плоскости. Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный: ${\displaystyle x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}}\in V}$ — векторное уравнение m-плоскости. Вектора ${\displaystyle {\vec {a_{i}}}}$ образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и ${\displaystyle \exists x\in \alpha :x\notin \beta }$. (n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — нормальный вектор плоскости, ${\displaystyle {\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})}$ — вектор переменных, ${\displaystyle {\vec {r_{0}}}}$ — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда: ${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0}$ — общее уравнение плоскости. Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: ${\displaystyle \det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0}$, или: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{1}-x_{0}^{1}&a_{1}^{1}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{1}\\x^{2}-x_{0}^{2}&a_{1}^{2}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{0}^{n}&a_{1}^{n}&a_{2}^{n}&...&a_{n-1}^{n}\end{vmatrix}}=0}$. Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами. Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: ${\displaystyle \alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}}$. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью. Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости. См. также Сагиттальная плоскость Полуплоскость Пространство Примечания 1 2 Математическая энциклопедия, 1984. 1 2 Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с. Архивировано 10 января 2014 года. Литература Ссылки На Викискладе есть медиафайлы по теме Плоскость