Меню Главная Случайная статья Настройки Поверхность второго порядка Материал из https://ru.wikipedia.org Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида ${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0}$ в котором по крайней мере один из коэффициентов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, отличен от нуля. Является частным случаем квадрики. Содержание 1 Типы поверхностей второго порядка 1.1 Цилиндрические поверхности 1.2 Конические поверхности 1.3 Поверхности вращения 1.4 Эллиптический параболоид 1.5 Гиперболический параболоид 1.6 Центральные поверхности 2 Матричный вид уравнения поверхности второго порядка 3 Инварианты 3.1 Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов 4 Примечания 5 Литература 6 См. также Типы поверхностей второго порядка Цилиндрические поверхности Поверхность ${\displaystyle S}$ называется цилиндрической поверхностью с образующей ${\displaystyle {\vec {l}}}$, если для любой точки ${\displaystyle M_{0}}$ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей ${\displaystyle {\vec {l}}}$, целиком принадлежит поверхности ${\displaystyle S}$. Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность ${\displaystyle S}$ имеет уравнение ${\displaystyle f(x,y)=0}$, то ${\displaystyle S}$ — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси ${\displaystyle OZ}$. Кривая, задаваемая уравнением ${\displaystyle f(x,y)=0}$ в плоскости ${\displaystyle z=0}$, называется направляющей цилиндрической поверхности. Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка. Эллиптический цилиндр: Параболический цилиндр: Гиперболический цилиндр: ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle y^{2}=2px}$ ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=1}$ Пара совпавших прямых: Пара совпавших плоскостей: Пара пересекающихся плоскостей: ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}$ ${\displaystyle y^{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=0}$ Конические поверхности Поверхность ${\displaystyle S}$ называется конической поверхностью с вершиной в точке ${\displaystyle O}$, если для любой точки ${\displaystyle M_{0}}$ этой поверхности прямая, проходящая через ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle O}$, целиком принадлежит этой поверхности. Функция ${\displaystyle F(x,y,z)}$ называется однородной порядка ${\displaystyle m}$, если ${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z}$ выполняется следующее: ${\displaystyle F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)}$ Теорема (об уравнении конической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность ${\displaystyle S}$ задана уравнением ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$, где ${\displaystyle F(x,y,z)}$ — однородная функция, то ${\displaystyle S}$ — коническая поверхность с вершиной в начале координат. Если поверхность ${\displaystyle S}$ задана функцией ${\displaystyle F(x,y,z)}$, являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то ${\displaystyle S}$ называется конической поверхностью второго порядка. Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид: ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}$ Поверхности вращения Поверхность ${\displaystyle S}$ называется поверхностью вращения вокруг оси ${\displaystyle OZ}$, если для любой точки ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости ${\displaystyle z=z_{0}}$ с центром в ${\displaystyle (0,0,z_{0})}$ и радиусом ${\displaystyle r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$, целиком принадлежит этой поверхности. Теорема (об уравнении поверхности вращения). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность ${\displaystyle S}$ задана уравнением ${\displaystyle F(x^{2}+y^{2},z)=0}$, то ${\displaystyle S}$ — поверхность вращения вокруг оси ${\displaystyle OZ}$. Эллипсоид: Однополостной гиперболоид: Двуполостной гиперболоид: Эллиптический параболоид: Гиперболический параболоид: ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$ ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z}$ ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z}$ В случае, если ${\displaystyle a=b\neq 0}$, перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения. Эллиптический параболоид Уравнение эллиптического параболоида имеет вид ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.}$ Если ${\displaystyle a=b}$, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой ${\displaystyle p=a^{2}=b^{2}}$, вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы. Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью ${\displaystyle z=z_{0}>0}$ является эллипсом. Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью ${\displaystyle x=x_{0}}$ или ${\displaystyle y=y_{0}}$ является параболой. Гиперболический параболоид Уравнение гиперболического параболоида имеет вид ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.}$ Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью ${\displaystyle z=z_{0}}$ является гиперболой. Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью ${\displaystyle x=x_{0}}$ или ${\displaystyle y=y_{0}}$ является параболой. Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом». Центральные поверхности Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты ${\displaystyle \left(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\right)}$ можно найти, решив систему уравнений: ${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{0}+a_{34}=0\end{cases}}}$ Матричный вид уравнения поверхности второго порядка Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0}$ Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0}$ Если обозначить ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}^{T}}$ , то уравнение приобретает следующий вид: ${\displaystyle X^{T}AX+2bX+a_{44}=0}$ Инварианты Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса: Связанных с матрицей ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} \,A}$ ${\displaystyle I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_{2,3}^{2,3}}$, где ${\displaystyle {M_{A}}_{i,j}^{i,j}}$ — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j. ${\displaystyle I_{3}=\det A}$ Связанных с блочной (расширенной) матрицей ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}}$[1] ${\displaystyle K_{1}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}}$ ${\displaystyle K_{2}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=i+1}^{3}\sum _{k=j+1}^{4}{M_{B}}_{i,j,k}^{i,j,k}}$ ${\displaystyle K_{4}=\det B}$ Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами. При параллельном переносе системы координат величины ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}}$ остаются неизменными. При этом: ${\displaystyle K_{2}}$ остается неизменной только если ${\displaystyle I_{2}=I_{3}=K_{4}=0}$ ${\displaystyle K_{1}}$ остается неизменной только если ${\displaystyle I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{2}=0}$ Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов Для любой алгебраической поверхности второго порядка существует такая декартова система координат, в которой уравнение этой поверхности принимает один из следующих семнадцати канонических видов: Поверхность Уравнение Инварианты Эллипсоид ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ ${\displaystyle I_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle I_{2}>0,\quad I_{1}I_{3}>0}$ ${\displaystyle K_{4}<0}$ Мнимый эллипсоид ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$ ${\displaystyle K_{4}>0}$ Точка ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z^{2}=0}$ ${\displaystyle K_{4}=0}$ Однополостный гиперболоид ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ ${\displaystyle I_{2}\leq 0}$ или ${\displaystyle I_{1}I_{3}\leq 0}$ ${\displaystyle K_{4}>0}$ Двуполостный гиперболоид ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$ ${\displaystyle K_{4}<0}$ Конус ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z^{2}=0}$ ${\displaystyle K_{4}=0}$ Эллиптический параболоид ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0}$ ${\displaystyle I_{3}=0}$ ${\displaystyle K_{4}\neq 0}$ ${\displaystyle K_{4}<0}$ Гиперболический параболоид ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0}$ ${\displaystyle K_{4}>0}$ Эллиптический цилиндр ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle K_{4}=0}$ ${\displaystyle I_{2}>0}$ ${\displaystyle I_{1}K_{2}<0}$ Мнимый эллиптический цилиндр ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}$ ${\displaystyle I_{1}K_{2}>0}$ Прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей) ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0}$ ${\displaystyle K_{2}=0}$ Гиперболический цилиндр ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle I_{2}<0}$ ${\displaystyle K_{2}\neq 0}$ Пара пересекающихся плоскостей ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0}$ ${\displaystyle K_{2}=0}$ Параболический цилиндр ${\displaystyle y^{2}=2px}$ ${\displaystyle I_{2}=0}$ ${\displaystyle K_{2}\neq 0}$ Пара параллельных плоскостей ${\displaystyle x^{2}-d^{2}=0}$ ${\displaystyle K_{2}=0}$ ${\displaystyle K_{1}<0}$ Пара мнимых параллельных плоскостей ${\displaystyle x^{2}+d^{2}=0}$ ${\displaystyle K_{1}>0}$ Плоскость ${\displaystyle x^{2}=0}$ ${\displaystyle K_{1}=0}$ Примечания Александров П. С. Глава XIX. Общая теория поверхностей второго порядка. // Лекции по аналитической геометрии. — Наука, 1968. — С. 504-506. — 911 с. Литература Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 5, § 46-54. М., 1883. См. также Квадрика Поверхность вращения Сфера Цилиндрическая поверхность Гиперболоид Параболоид Эллипсоид Поверхность Дарбу