Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Полиформа
Материал из https://ru.wikipedia.org

Полиформа — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд[5].

Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски[6][7]. Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером[8][9].

Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.[7][10]

Содержание

Правила соединения

Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила:
  • Ячейки полиформы не должны перекрываться.
  • Две соседние многоугольные (многогранные) ячейки должны иметь общее ребро (для трёхмерных полиформ - общую грань).
    • Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой (англ. pseudopolyform, pseudo-n-form)[7].
    • Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой (англ. quasipolyform, quasi-n-form)[7].


Симметрии

В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ[7][11]:
  • свободная (англ. free) или двусторонняя (англ. two-sided) полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
  • односторонняя (англ. one-sided) полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
  • фиксированная (англ. fixed) полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.


Виды и применение полиформ

Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях. Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 610).

Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку.
Форма ячейки (моноформа) Связность фигуры Полиформа
квадрат сторона полимино (англ. polyomino)[7][11]
сторона, угол псевдополимино[7][12]
полиплет (англ. polyplet)[13]
правильный треугольник сторона полиамонд (англ. polyiamond, polyamond)[7][14]
правильный шестиугольник сторона полигекс (англ. polyhex)[7][15]
куб грань поликуб (англ. polycube)[7][16]
треугольник 45-45-90 сторона полиаболо (англ. polyabolo)[17]
треугольник 30-60-90 сторона полидрафтер[англ.] (англ. polydrafter)[18]
квадрат
(в трёхмерном пространстве) 		ребро (90°, 180°) полиминоид (англ. polyominoid)
ромбододекаэдр грань полирон (англ. polyrhon)[1][2]
отрезок конец (90°, 180°) полистик[англ.] (англ. polystick)[19]


Полиформы на гиперболических паркетах

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет. На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.

Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны[22][21]. Так, на квадратном паркете порядка 5[20] существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино[21]. На правильном семиугольном паркете порядка 3[23] существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников[22], причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников[24].

Примечания
  1. 1 2 George Sicherman. Catalogue of Polyrhons. Дата обращения: 6 августа 2013. Архивировано 11 сентября 2015 года.
  2. 1 2 Stewart T. Coffin. The Puzzling World of Polyhedral Dissections. Chapter 18: Puzzles Made of Polyhedral Blocks. Дата обращения: 12 августа 2013. Архивировано 20 октября 2015 года.
  3. Последовательность A038172 в OEIS = Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice
  4. Последовательность A038173 в OEIS = Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice and reflections
  5. Weisstein, Eric W. Polyform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Генри Э. Дьюдени. Кентерберийские головоломки. — 197. — С. 111 — 113.
  7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  8. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения, 1971. — Глава 12. Полиомино. — с.111—124
  9. Гарднер М. Математические новеллы, 1974. — Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. — с.81—95
  11. 1 2 Weisstein, Eric W. Polyomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  12. Miroslav Vicher. Polyforms. Дата обращения: 22 августа 2013. Архивировано 11 сентября 2015 года.
  13. Weisstein, Eric W. Polyplet (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  14. Weisstein, Eric W. Polyiamond (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  15. Weisstein, Eric W. Polyhex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  16. Weisstein, Eric W. Polycube (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  17. Weisstein, Eric W. Polyabolo (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  18. Weisstein, Eric W. Polydrafter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  19. Weisstein, Eric W. Polystick (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  20. 1 2 Квадратный паркет порядка 5 — правильный паркет на гиперболической плоскости, в каждой вершине которого сходятся пять квадратов.
  21. 1 2 3 Последовательность A119611 в OEIS = Number of free polyominoes in (4,5) tessellation of the hyperbolic plane
  22. 1 2 Holy Hyperbolic Heptagons! Puzzle Zapper Blog. Дата обращения: 22 августа 2013. Архивировано 8 января 2015 года.
  23. В каждой вершине семиугольного паркета порядка 3 сходятся три правильных семиугольника.
  24. George Sicherman. Catalogue of Polyhepts. Дата обращения: 22 августа 2013. Архивировано 27 сентября 2015 года.


Литература


Ссылки
Downgrade Counter