Меню Главная Случайная статья Настройки Ромбоусечённый икосододекаэдр Материал из https://ru.wikipedia.org Ромбоусечённый икосододекаэдр[1] или усечённый икосододекаэдр[2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников. В каждой из его 120 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань, одна шестиугольная и одна десятиугольная. Телесный угол при вершине равен в точности ${\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi .}$ Имеет 180 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) двугранные углы равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ },}$ при 60 рёбрах (между квадратной и десятиугольной гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\approx 148{,}28^{\circ },}$ при 60 рёбрах (между шестиугольной и десятиугольной гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ }.}$ Название «усечённый икосододекаэдр», которое первоначально дал этому многограннику Кеплер, способно ввести в заблуждение. Дело в том, что в результате операции усечения, «срезав» с икосододекаэдра 30 четырёхугольных пирамид, можно получить лишь несколько иной многогранник, четырёхугольные грани которого — золотые прямоугольники, а не квадраты. Полученный многогранник полуправильным не является; впрочем, он изоморфен настоящему ромбоусечённому икосододекаэдру и может быть превращён в таковой при помощи небольшой деформации. Содержание 1 В координатах 2 Метрические характеристики 3 Примечательные свойства 4 Примечания 5 Ссылки 6 Литература В координатах Ромбоусечённый икосододекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +3)),}$ ${\displaystyle (\pm (2\Phi -2);\;\pm \Phi ;\;\pm (2\Phi +1)),}$ ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +1);\;\pm (3\Phi -1)),}$ ${\displaystyle (\pm (2\Phi -1);\;\pm 2;\;\pm (\Phi +2)),}$ ${\displaystyle (\pm \Phi ;\;\pm 3;\;\pm 2\Phi ),}$ где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения. Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер. Метрические характеристики Если ромбоусечённый икосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как ${\displaystyle S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 174{,}2920303a^{2},}$ ${\displaystyle V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206{,}8033989a^{3}.}$ Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен ${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}8023945a;}$ радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) — ${\displaystyle \rho ={\sqrt {{\frac {15}{2}}+3{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7693771a.}$ Вписать в ромбоусечённый икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоусечённого икосододекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен ${\displaystyle r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}4409548a.}$ Расстояния от центра многогранника до шестиугольных и квадратных граней превосходят ${\displaystyle r_{10}}$ и равны соответственно ${\displaystyle r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {27+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}6685425a,}$ ${\displaystyle r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7360680a.}$ Примечательные свойства Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона с заданной длиной ребра ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольший объём, наибольшую площадь поверхности и наибольший диаметр. Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольшее число вершин и наибольшее число рёбер (но не наибольшее число граней — здесь первое место занимает курносый додекаэдр). Примечания Веннинджер, 1974, с. 20, 40. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434. Люстерник, 1956, с. 184. Ссылки Weisstein, Eric W. Ромбоусечённый икосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Литература М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.