Ru.Wikipedia.Org - Дельтоидальный икоситетраэдр

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Дельтоидальный икоситетраэдр
Материал из https://ru.wikipedia.org

Дельтоидальный икоситетраэдр (от «дельтоид» и др.-греч. — «двадцать», — «четыре», — «грань»), также называемый тетрагонтриоктаэдром (от др.-греч. — «четыре», — «угол», — «три», — «восемь» и — «грань»), — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбокубооктаэдру.

Составлен из 24 одинаковых выпуклых дельтоидов.

Имеет 26 вершин. В 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся по 3 грани своими тупыми углами; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся по 4 грани острыми углами, противоположными тупому; в остальных 12 вершинах (расположенных так же, как вершины кубооктаэдра) сходятся по 4 грани острыми углами, соседними с тупым.

8 вершин расположены так же, как вершины куба
6 вершин расположены так же, как вершины октаэдра
12 вершин расположены так же, как вершины кубооктаэдра

Имеет 48 рёбер — 24 «длинных» (вместе образующих нечто вроде «раздутого» остова октаэдра) и 24 «коротких» (образующих «раздутый» остов куба).

Дельтоидальный икоситетраэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла^[1]; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Содержание

Метрические характеристики и углы

Если «короткие» рёбра дельтоидального икоситетраэдра имеют длину

b

, то его «длинные» рёбра имеют длину

a={\frac {1}{2}}\left(4-{\sqrt {2}}\right)b\approx 1{,}2928932b.

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

S=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\;b^{2}\approx 30{,}6948957b^{2},

V={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\;b^{3}\approx 14{,}9133887b^{3}.

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их центрах вписанных окружностей) при этом будет равен

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{17}}\left(78+47{\sqrt {2}}\right)}}\;b\approx 1{,}4575767b,

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

\rho ={\frac {1}{4}}\left(2+3{\sqrt {2}}\right)b\approx 1{,}5606602b,

радиус окружности, вписанной в грань —

r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{34}}\left(31+8{\sqrt {2}}\right)}}\;b\approx 0{,}5577905b,

большая диагональ грани (делящая грань на два равнобедренных треугольника) —

e={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+{\sqrt {2}}}}\;b\approx 1{,}6892464b,

меньшая диагональ грани (делящая грань на два равных треугольника) —

f={\frac {1}{2}}{\sqrt {12-2{\sqrt {2}}}}\;b\approx 1{,}5142302b.

Описать около дельтоидального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Тупой угол грани (между двумя «короткими» сторонами) равен

\arccos \left(-{\frac {2+{\sqrt {2}}}{8}}\right)\approx 115{,}26^{\circ };

три острых угла грани равны

\arccos \,{\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}\approx 81{,}58^{\circ }.

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен

\arccos \left(-{\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}\right)\approx 138{,}12^{\circ }.

В природе и культуре

В форме дельтоидального икоситетраэдра встречаются кристаллы анальцима, лейцита, а так же некоторых разновидностей граната: спессартина, андрадита.

Дельтоидальный икоситетраэдр играет важную роль в рассказе Говарда Лавкрафта «Обитающий во Тьме», где фигурирует под принятым в кристаллографии названием «trapezohedron». В стереометрии словом «трапецоэдр» обозначается другой многогранник.

Примечания

Weisstein, Eric W. Графы каталановых тел (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Дельтоидальный икоситетраэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.