Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Треугольник Шарыгина — треугольник, не являющийся равнобедренным, основания биссектрис которого образуют равнобедренный треугольник[1].
Был впервые рассмотрен Игорем Фёдоровичем Шарыгиным в 1982 году в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия»[2][3].
Треугольники Шарыгина представляют интерес, так как существуют в отличие от аналогичных треугольников, в определении которых вместо биссектрис использованы, например, медианы или высоты[4].
Содержание
Существование треугольников Шарыгина
Для любого угла такого, что , существует с точностью до подобия ровно один треугольник Шарыгина с одним из углов, равным , причём для любого треугольника Шарыгина косинус одного из его углов лежит в указанном интервале.
Сам угол в градусах удовлетворяет приближённому двойному неравенству [1][3].
Пусть — треугольник Шарыгина, , и — его стороны (см. рисунок), , и — его биссектрисы, и .
Предположим, является серединным перпендикуляром к отрезку . Тогда углы и равны, а углы и также равны, так как прямая является биссектрисой угла , следовательно, по теореме о сумме углов треугольника для треугольников и углы и равны, а значит, равны и углы и , из чего следует, что треугольник равнобедненный, то есть не является треугольником Шарыгина по определению.
Итак, не является серединным перпендикуляром к отрезку . Тогда точка является пересечением биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку , которое лежит на описанной окружности треугольника по следствию из теоремы о вписанном угле. Тогда четырёхугольник является вписанным, следовательно, , а значит, сумма углов и , как смежных к углам и соответственно, также равна .
Приложим друг к другу треугольники и по равным сторонам и соответственно. Получим треугольник, подобный треугольнику по первому признаку подобия треугольников. Нетрудно убедиться, что его стороны будут равны , и . Тогда из подобия получаем что можно переписать в виде
Обозначим косинус угла через . Тогда по теореме косинусов , причём следовательно, будет верно равенство , что с учётом неравенства треугольника даёт ограничения
Подставив данное значение в равенство и разделив его на , получим квадратное уравнение на Первый и третий члены меньше нуля, а значит, средний член должен быть больше нуля. , следовательно, . Полученное уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант, равный не меньше нуля, причём только одно из этих решений будет положительным. Случай, когда дискриминант равен нулю, не удовлетворяет условию , следовательно, требуется его строгая положительность.
Следовательно, треугольник Шарыгина с существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: причём для данного он всегда единственен. Эти три условия равносильны ограничениям
Кубика Шарыгина
Кубикой Шарыгина называется полученная в доказательстве выше кубика (имеющая более простой, но не удовлетворяющий формальному определению кубики вариант записи: ), задающая необходимое и достаточное условие для того, чтобы треугольник со сторонами являлся треугольником Шарыгина с равными сторонами (см. рисунок).
Конкретные примеры
Вправильных многоугольниках
На момент 2017 года известен только один пример треугольника Шарыгина, вершины которого могут являться некоторыми вершинами правильного многоугольника[4]. В данном примере вершины треугольника являются первой, второй и четвёртой вершинами правильного семиугольника[1].
|
|