Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Усечённая четырёх-шестиугольная мозаика — это a полурегулярная мозаика на гиперболической плоскости.
В этой мозаике в каждой вершине сходятся один квадрат, один восьмиугольник, и один двенадцатиугольник.
Мозаика имеет символ Шлефли tr{6,4}.
Содержание
Двойственная мозаика
Связанные многогранники и мозаики
Согласно построению Витхоффа существует 14 гиперболических одородных мозаик, базирующихся на правильной шестиугольной мозаике порядка 4.
Если рисовать мозаики с выделенными красным цветом исходными фигурами, жёлтым цветом исходными вершинами и синим цветом исходными рёбрами,
получим 7 рисунков с полной [6,4] симметрией и 7 с подсимметрией.
| Однородные четырёхшестиугольные мозаики
|
Симметрия: [6,4], (*642)
( [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [,3,] (*3222) index 2 subsymmetries)
(и [(,3,,3)] (*3232) подсимметрия)
|
=
=
=
|
=
|
=
=
=
|
=
|
=
=
=
|
=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| {6,4}
|
t{6,4}
|
r{6,4}
|
t{4,6}
|
{4,6}
|
rr{6,4}
|
tr{6,4}
|
| Однородные двойственные duals
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| V64
|
V4.12.12
|
V(4.6)2
|
V6.8.8
|
V46
|
V4.4.4.6
|
V4.8.12
|
| Альтернирования
|
[1+,6,4]
(*443)
|
[6+,4]
(6*2)
|
[6,1+,4]
(*3222)
|
[6,4+]
(4*3)
|
[6,4,1+]
(*662)
|
[(6,4,2+)]
(2*32)
|
[6,4]+
(642)
|
=
|
=
|
=
|
=
|
=
|
=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| h{6,4}
|
s{6,4}
|
hr{6,4}
|
s{4,6}
|
h{4,6}
|
hrr{6,4}
|
sr{6,4}
|
Симметрия
Мозаика, двойственная рассматриваемой, представляет фундаментальную область (*642) с орбифолдной[англ.] симметрией.
Из симметрии [6,4] следует, что имеется 15 подгрупп малого индекса, получаемых удалением зеркального отражения и операцией альтернации[англ.].
Отражения могут быть удалены, если все порядки ветвей чётны.
Удаление двух отражений оставляет точку вращения половинного порядка в месте пересечения зеркал.
В этих рисунках оси отражений (зеркала) показаны красным, зелёным и синим цветом, а треугольники с чередующейся окраской показывают положение точек вращения.
Подгруппа [6+,4+], (32) имеет тонкие линии, представляющие скользящие отражения.
Группа [1+,6,1+,4,1+] (3232) с индексом 8 является коммутантом группы [6,4].
Большая подгруппа, построенная как [6,4*] путём удаления точек вращения [6,4+], (3*22) с индексом 6 становится (*3333[англ.]),
а группа, построенная как [6*,4] путём удаления точек вращения [6+,4], (2*33) с индексом 12 становится (*222222[англ.]).
Наконец, их прямые подгруппы[2]
[6,4*]+, [6*,4]+, с индексами 12 и 24 соответственно, можно задать в орбифолдной нотации как (3333) и (222222).
| Подгруппы [6,4] с малым индексом
|
| Индекс
|
1
|
2
|
4
|
| Диаграмма
|
|
|
|
|
|
|
| Коксетер[англ.]
|
[6,4]
= =
|
[1+,6,4]
=
|
[6,4,1+]
= =
|
[6,1+,4]
=
|
[1+,6,4,1+]
=
|
[6+,4+]
|
| Генераторы
|
{0,1,2} |
{1,010,2} |
{0,1,212} |
{0,101,2,121} |
{1,010,212,20102} |
{012,021}
|
| Орбифолд[англ.]
|
*443[англ.]
|
*662[англ.]
|
*3222[англ.]
|
*3232[англ.]
|
32
|
| Полупрямые подгруппы
|
| Диаграмма
|
|
|
|
|
|
|
| Коксетер
|
|
[6,4+]
|
[6+,4]
|
[(6,4,2+)]
|
[6,1+,4,1+]
= =
= =
|
[1+,6,1+,4]
= =
= =
|
| Генераторы
|
|
{0,12} |
{01,2} |
{1,02} |
{0,101,1212} |
{0101,2,121}
|
| Орбифолд
|
|
4*3
|
6*2
|
2*32
|
2*33
|
3*22
|
| Прямые подгруппы
|
| Индекс
|
2
|
4
|
8
|
| Диаграмма
|
|
|
|
|
|
| Коксетер
|
[6,4]+
=
|
[6,4+]+
=
|
[6+,4]+
=
|
[(6,4,2+)]+
=
|
[6+,4+]+ = [1+,6,1+,4,1+]
= = =
|
| Генераторы
|
{01,12}
|
{(01)2,12}
|
{01,(12)2}
|
{02,(01)2,(12)2}
|
{(01)2,(12)2,2(01)22}
|
| Орбифолд
|
642
|
443
|
662
|
3222
|
3232
|
| Радикальные подгруппы
|
| Индекс
|
|
8
|
12
|
16
|
24
|
| Диаграмма
|
|
|
|
|
|
| Коксетер
|
|
[6,4*]
=
|
[6*,4]
|
[6,4*]+
=
|
[6*,4]+
|
| Орбифолд
|
|
*3333[англ.]
|
*222222[англ.]
|
3333
|
222222
|
См. также
Примечания
- Префикс кис- и означает такое разбиение.
- В группах Коксетера прямыми подгруппами называются подгруппы, имеющие прямой изоморфизм (без симметрии).
В этом контексте прямой изоморфизм - это изоморфизм, сохраняющий хиральность. Полупрямые подгруппы могут включать как отрражающие, так и неотражающие генераторы.
Литература
Ссылки
|
|
