Меню Главная Случайная статья Настройки Усечённый куб Материал из https://ru.wikipedia.org Усечённый куб[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две восьмиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx 0{,}89\pi .}$ Усечённый куб имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя восьмиугольными гранями) двугранные углы прямые, как в кубе; при 24 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) двугранные углы тупые и равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)\approx 125{,}26^{\circ },}$ как в кубооктаэдре. Усечённый куб можно получить из обычного куба, «срезав» с того 8 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра. Содержание 1 Метрические характеристики 2 В координатах 3 Заполнение пространства 4 Примечания 5 Ссылки 6 Литература Метрические характеристики Если усечённый куб имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как ${\displaystyle S=2\left(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 32{,}4346644a^{2},}$ ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\left(21+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 13{,}5996633a^{3}.}$ Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен ${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}7788236a;}$ радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) — ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}7071068a.}$ Вписать в усечённый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого куба с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех восьмиугольных граней в их центрах), равен ${\displaystyle r_{8}={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}2071068a.}$ Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{8}}$ и равно ${\displaystyle r_{3}={\sqrt {{\frac {17}{12}}+{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}6825220a.}$ В координатах Усечённый куб можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел ${\displaystyle (\pm 1;\;\pm 1;\;\pm ({\sqrt {2}}-1)).}$ Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер. Заполнение пространства С помощью октаэдров и усечённых кубов можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрации). Примечания Веннинджер, 1974, с. 20, 32. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434. Люстерник, 1956, с. 183. Ссылки Weisstein, Eric W. Усечённый куб (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Литература М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.