Меню Главная Случайная статья Настройки Поверхность вращения Материал из https://ru.wikipedia.org Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — гиперболоид. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых. Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической, дифференциальной и начертательной геометрии. Содержание 1 Примеры 2 Площадь 3 Объём 4 Вариации и обобщения 5 Примечания Примеры Круговая цилиндрическая поверхность (получается вращением прямой вокруг параллельной ей прямой). Конус (получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую). Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр). Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости). Эллипсоид вращения эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают (получается вращением эллипса вокруг одной из его осей). Параболоид вращения эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси. Катеноид (получается вращением цепной линии). Площадь Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Паппа — Гульдина, или теоремой Паппа о центроиде. Например, для тора с радиусами ${\displaystyle r,R}$, площадь поверхности равна ${\displaystyle S=(2\pi r)\cdot (2\pi R)=4\pi ^{2}rR}$. Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой ${\displaystyle y=f(x),\ a\leq x\leq b}$ вокруг оси ${\displaystyle Ox}$, можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2}}}dx}$. Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой ${\displaystyle x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha \leq t\leq \beta }$ вокруг оси ${\displaystyle Ox}$, можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }y(t){\sqrt {\left(x'(t)\right)^{2}+\left(y'(t)\right)^{2}}}dt}$. Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат ${\displaystyle r=\rho (\varphi ),\ \alpha \leq \varphi \leq \beta }$, действительна формула ${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }\rho (\varphi )|\sin \varphi |{\sqrt {\left(\rho (\varphi )\right)^{2}+\left(\rho '(\varphi )\right)^{2}}}d\varphi }$. Объём Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры. Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой ${\displaystyle y=f(x),\ a\leq x\leq b}$ вокруг оси ${\displaystyle 0x}$, можно вычислить по формуле ${\displaystyle V=\pi \int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)dx}$. Вариации и обобщения Искривлённое произведение Примечания