Меню Главная Случайная статья Настройки Умножение Материал из https://ru.wikipedia.org Умножение — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями (иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем). Результат умножения называется их произведением[1]. Для натуральных чисел умножение определяется как многократное сложение[1] — чтобы умножить число ${\displaystyle a}$ на число ${\displaystyle b}$, надо сложить ${\displaystyle b}$ чисел ${\displaystyle a}$ (умножение далее обозначено приподнятой точкой между сомножителями): ${\displaystyle a\cdot b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b}}$. Умножение для других типов чисел — целых, рациональных, вещественных, комплексных — определяется не через многократное сложение, а путём систематического обобщения. Умножение чисел является коммутативной операцией, то есть порядок записи чисел-множителей не влияет на результат их умножения. Например, умножение чисел ${\displaystyle 3}$ и ${\displaystyle 5}$ может быть записано как ${\displaystyle 3\cdot 5}$, так и ${\displaystyle 5\cdot 3}$ (произносится также «пятью три», «трижды пять»), и результатом в любом случае является число ${\displaystyle 15}$. Проверка через сложение: ${\displaystyle \underbrace {3+3+3+3+3} _{5}=15}$, ${\displaystyle \underbrace {5+5+5} _{3}=15}$. Умножение определяется не только для чисел, но и для различных нечисловых математических объектов[2] (например, матриц, векторов, множеств, кватернионов и т. д.), для каждого из которых имеет различный смысл, различные определения и свойства. Например, операция умножения для нечисловых объектов не всегда является коммутативной операцией. При умножении физических величин важную роль играет их размерность, которая равноправно участвует в умножении Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец[2]. Содержание 1 Формы записи и терминология 2 Свойства 3 Выполнение умножения 4 Умножение чисел 4.1 Натуральные числа 4.2 Целые числа 4.3 Рациональные числа 4.4 Вещественные числа 4.5 График 4.6 Комплексные числа 4.7 Экспоненциальная запись 4.8 Умножение произвольных чисел 5 Умножение физических величин 6 Умножение последовательностей 7 См. также 8 Примечания 9 Литература 10 Ссылки Формы записи и терминология Умножение записывается с использованием знака умножения (, , ) между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс». Самый старый из используемых символов — косой крестик (). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г. Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (). Этот символ он использовал в письме 1698 года. Йоханн Ран ввёл звёздочку () в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г. В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (). Звёздочка () используется, как правило, в текстах компьютерных программ. Результат записывается с использованием знака равенства «${\displaystyle =}$», например: ${\displaystyle a\cdot b=c}$ ${\displaystyle 6\cdot 3=18}$ («шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три — восемнадцать»). Часто в математических выражениях знак умножения опускается (не записывается), если это не вызывает неоднозначного прочтения. Например вместо ${\displaystyle y=6\cdot x+3\cdot z}$ пишется ${\displaystyle y=6x+3z}$. Как правило, знак умножения опускают, если одним из множителей является однобуквенная переменная, функция или выражение в скобках: ${\displaystyle b^{2}-4ac}$, ${\displaystyle n\sin x}$, ${\displaystyle a(b+c)}$. В случае, когда в выражении есть деление на произведение, в котором опущен знак умножения, обычно также опускаются и скобки вокруг произведения[3]: ${\displaystyle a:(b\cdot c)}$ записывается как ${\displaystyle a:bc}$. В таком выражении простая подстановка знака умножения на место, где он пропущен, приведёт к путанице[4], поэтому нужно восстанавливать и опущенные скобки (либо считать, что у опущенного умножения приоритет выше, чем у деления[5]). Традиционно при записи произведения нескольких множителей числа записывают перед переменными, а переменные — перед функциями. Так, выражение ${\displaystyle n\cdot \sin x\cdot 5\cdot m}$ будет записано как ${\displaystyle 5nm\sin x}$. Выражения в скобках традиционно записывают последними, то есть выражение ${\displaystyle x\cdot (a+b)\cdot 2}$ будет записано как ${\displaystyle 2x(a+b)}$. Свойства Далее описаны основные свойства операции умножения на числовых множествах ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$. Умножение коммутативно, то есть от перемены мест множителей произведение не меняется. Свойство также известно как переместительный закон умножения[6]: Коммутативность: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a;}$ Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как сочетательный закон умножения[6]: Ассоциативность: ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c);}$ Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как распределительный закон[6]: Дистрибутивность: ${\displaystyle x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A;}$ Относительно умножения в множестве ${\displaystyle A}$ существует единственный нейтральный элемент — ${\displaystyle 1}$ (число «один»). Умножение любого числа на ${\displaystyle 1}$ (нейтральный элемент) даёт число, равное исходному: Нейтральный элемент: ${\displaystyle x\cdot 1=1\cdot x=x,\quad \exists !1\in A;}$ Умножение на ${\displaystyle 1}$ идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное: Идемпотентность: ${\displaystyle x=x\cdot 1=(x\cdot 1)\cdot 1=((x\cdot 1)\cdot 1)\cdot ...\cdot 1,\quad \forall x\in A,\quad \exists !1\in A;}$ Умножение на ${\displaystyle 0}$ (нулевой элемент) даёт ${\displaystyle 0}$ (нуль): Нулевой элемент: ${\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0,\quad \exists !0\in A.}$ Операция умножения чисел, определённых на множествах ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$, даёт произведение, принадлежащее этому же множеству. Следовательно, операция умножения относится к замкнутым операциям, то есть множества чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }$ образуют кольца относительно операции умножения. На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что ${\displaystyle \mathbb {Z} _{-0},\mathbb {Q} _{-0},\mathbb {R} _{-0}}$ являются абелевыми группами относительно операции умножения. В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними, но менее высокий приоритет, чем операция возведения в степень. На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы. Выполнение умножения При практическом решении задачи умножения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое умножение», сложение, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного умножения. При этом следует рассматривать умножение как процедуру (в отличие от операции). Процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время. «Простое умножение» в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к сложению. Является гипероператором сложения: ${\displaystyle a\cdot b=\operatorname {hyper2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,2,b)=a^{(2)}b.}$ ${\displaystyle a{^{(2)}}b=a\cdot b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b}.}$ где ${\displaystyle a+a+\dots +a}$ — последовательное сложение ${\displaystyle b}$ элементов. Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод «простого умножения», для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы[7]: