Меню Главная Случайная статья Настройки Стодвадцатиячейник Материал из https://ru.wikipedia.org Стодвадцатиячейник Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство Тип Правильный четырёхмерный политоп Символ Шлефли {5,3,3} Ячеек 120 Граней 720 Рёбер 1200 Вершин 600 Вершинная фигура Правильный тетраэдр Двойственный политоп Шестисотячейник Правильный стодвадцатиячейник, или просто стодвадцатиячейник[1] — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. — «сто», — «двадцать» и — «место, пространство»), гипердодекаэдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодекаэдр. Двойственен шестисотячейнику. Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[2]. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}. Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника. Содержание 1 Описание 2 В координатах 3 Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство 4 Ортогональные проекции на плоскость 5 Метрические характеристики 6 Примечания 7 Ссылки Описание Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности ${\displaystyle 144^{\circ }.}$ Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки. Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки. Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. В координатах Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы: координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел ${\displaystyle (0;0;\pm 2;\pm 2);}$ координаты 64 вершин — всевозможными перестановками ${\displaystyle (\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm {\sqrt {5}});}$ координаты 64 вершин — всевозможными перестановками ${\displaystyle (\pm \Phi ^{-2};\pm \Phi ;\pm \Phi ;\pm \Phi ),}$ где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения; координаты 64 вершин — всевозможными перестановками ${\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{2});}$ координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками ${\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-2};\pm 1;\pm \Phi ^{2});}$ координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками ${\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ;\pm {\sqrt {5}});}$ координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками ${\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm 1;\pm \Phi ;\pm 2).}$ Начало координат ${\displaystyle (0;0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер. Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство Ортогональные проекции на плоскость Метрические характеристики Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как ${\displaystyle V_{4}={\frac {15}{4}}\left(105+47{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 787{,}8569810a^{4},}$ ${\displaystyle S_{3}=30\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 919{,}5742753a^{3}.}$ Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен ${\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}\right)a\approx 3{,}7024592a,}$ радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) — ${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}\right)a\approx 3{,}6685425a,}$ радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) — ${\displaystyle \rho _{2}={\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(65+29{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 3{,}6034146a,}$ радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) — ${\displaystyle r={\frac {1}{4}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 3{,}4270510a.}$ Примечания Д. К. Бобылёв. Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907. George Olshevsky. Hecatonicosachoron // Glossary for Hyperspace. Ссылки Weisstein, Eric W. Стодвадцатиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Построение стодвадцатиячейника на YouTube Главы 3 и 4: Четвертое измерение . Dimensions. dimensions-math.org. Архивировано 4 марта 2015 года.