Меню Главная Случайная статья Настройки SO(8) Материал из https://ru.wikipedia.org SO(8) — специальная ортогональная группа восьмимерного евклидова пространства. Содержание 1 Свойства 2 Вариации и обобщения 3 См. также 4 Ссылки Свойства SO(8) — вещественная простая группа Ли ранга 4 и размерности 28. SO(8), как и все специальные ортогональные группы при ${\displaystyle n>2}$, неодносвязна, и её фундаментальная группа изоморфна Z2. универсальное накрытие SO(8) — спинорная группа Spin(8). центр SO(8) изоморфен Z2, он включает две матрицы {±I} (как и для SO(n) при 2n > 2). Центр Spin(8) изоморфен Z2Z2 (как и для всех Spin(4n), 4n > 0). SO(8) занимает особое место среди простых групп Ли, поскольку её диаграмма Дынкина (смотри рисунок) (D4) имеет трёхкратные симметрии. В этом причина особенного свойства Spin(8), известного как тройственность. С этим связаны, например, такие факты: Два спинорных представления, а также фундаментальное векторное представление Spin(8) — восьмимерные (для всех других Spin-групп спинорные представления имеет размерность либо большую, либо меньшую, чем векторное). Тройственный автоморфизм Spin(8) — группа внешних автоморфизмов Spin(8) изоморфна симметрической группы S3, она переставляет эти три представления. Группа автоморфизмов действует на центре Z2 х Z2 (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную S3, которые могут также рассматриваться как общая линейная группа над конечным полем из двух элементов, S3 GL(2,2)). Группа Вейля SO(8) имеет 4!8=192 элементов. Система корней SO(8): ${\displaystyle (\pm 1,0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1,0)}$ ${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$ Матрица Картана SO(8): ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&0&0\\-1&0&2&0\\-1&0&0&2\end{pmatrix}}}$ Вариации и обобщения Иногда Spin(8) появляется естественно в «расширенном» виде, в качестве группы автоморфизмов Spin(8), которая представляется как полупрямое произведение: Aut((Spin(8)) Spin(8) S3. См. также Октонионы алгебра Клиффорда Ссылки Adams, J.F. (1996), Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00526-7