Ru.Wikipedia.Org - Области комплексного пространства

, то есть любая точка множества принадлежит ему вместе с её окрестностью (открытость), а любые две точки множества соединены непрерывной кривой (связность)^[3]^[4].

Граничная точка области

D

— точки, не принадлежащие

D

, но одновременно предельные для точек

D

, то есть в произвольной окрестности предельной точки всегда имеются точки из

D

, а также хотя бы одна точка, не лежащая в

D

. Граница области

D

— множество

\partial D

всех граничных точек

D

. Замыкание области

{\bar {D}}

совпадает с объединением

D

\partial D

^[4].

Рассмотрим некоторые простейшие области комплексного пространства^[3].

Содержание

Конечные области

Шар

Шар (англ. ball; open ball^[5]; solid sphere) радиуса

r

с центром в точке

z_{0}

— это множество точек

B(a,\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z-z_{0}|<r\}

^[6].

Это обычный евклидов шар. Граница

\partial B

шара есть

(2n-1)

-мерная сфера

S^{2n-1}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z-z_{0}|=r\}

^[6].

Шар есть частный случай полной области Рейнхарта^[7].

Диаграммы шара Рейнхарта и Хартогса
Диаграмма Рейнхарта шара в $\mathbb {C} ^{2}$
Диаграмма Рейнхарта шара в $\mathbb {C} ^{3}$
Диаграмма Хартогса шара в $\mathbb {C} ^{2}$

Поликруг

Поликруг (англ. polydisc) — понятие комплексного анализа, раздела математики, топологическое произведение нескольких плоских кругов, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — шар^[6]^[8].

Поликруг (англ. open polydisc^[5]; equiradial polydisc^[9]) радиуса

r

с центром в точке

z_{0}

— следующее множество точек

z

комплексного пространства

C^{n}

произвольной размерности

n

^[6]^[10]:

\Delta ^{n}(z_{0},\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \|z-z_{0}\|<r\}=

=\{z=(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon

{\underset {k}{\max }}|z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}=

=\{z=(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon

|z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}

Синонимы: полидиск^[11]; круговой полицилиндр^[12]^[8]; шар в поликруговой метрике; шар в $\rho$ -метрике^[6]; поликруг с равными радиусами (англ. equiradial polydisc^[9]; полицилиндр с равными радиусами^[13]; произведение кругов^[13].

Так определённый поликруг — это шар с центром

z_{0}

в поликруговой

\rho

-метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение

n

плоских кругов

\Delta ^{n}(z_{0},\,r)=\Delta (z_{01},\,r)\times \Delta (z_{02},\,r)\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r),

\Delta (z_{0k},\,r)=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,

радиуса

r

с центрами в точках

z_{0k}

^[6].

В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса (англ. polydisc; polycylinder)^[14]),

\mathbf {r} =(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})

с центром в точке

z_{0}

— это следующее множество точек^[6]^[11]^[12]^[8]^[14]:

\Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}

В общем случае поликруг векторного радиуса есть геометрически топологическое произведение

n

плоских кругов с разными радиусами

r_{k}

и одним центром

z_{0}

^[12]:

\Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )=\Delta (z_{01},\,r_{1})\times \Delta (z_{02},\,r_{2})\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r_{n}),

\Delta (z_{0k},\,r_{k})=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k}\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,

Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть

z_{0}=0

, и единичным радиусом, то есть

r=1

^[12].

В общем случае эллиптический полицилиндр с центром в начале координат — это следующее множество точек^[15]:

E^{n}(\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}+{\sqrt {r_{k}^{2}-1}}|<r_{k},\,r_{k}>1,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}.

В общем случае аналитически скошенный полицилиндр — это множество точек, получающееся из полицилиндра после аффинного преобразования

z_{k}=b_{k}+\sum \limits _{p=1}^{n}a_{kp}z'_{p},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n

комплексного пространства^[16].

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[12].

Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта^[7]^[12].

Диаграммы поликруга Рейнхарта и Хартогса
Диаграмма Рейнхарта бикруга в $\mathbb {C} ^{2}$
Диаграмма Рейнхарта трикруга в $\mathbb {C} ^{3}$
Диаграмма Хартогса бикруга в $\mathbb {C} ^{2}$

Полиобласть

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[12].

Полиобласть (англ. polydomain^[14])

D=D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}

— топологическое произведение

n

следующих в общем случае плоских многосвязных областей^[12]^[7]^[14]:

D_{k}\subset \mathbb {C} ,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n.

Синонимы: поликруговая область^[12]^[7]; обобщённый полицилиндр^[12]^[8]; полицилиндрическая область^[7]^[17].

Область Рейнхарта

Область Рейнхарта (англ. Reinhardt domain) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий шара и поликруга. Названа в честь немецкого математика Карла Рейнхарта^[англ.]^[18]^[7]^[19]^[20].

Синонимы: кратно-круговая область^[18]^[19]^[20]; $n$ -круговая область (англ. multicircular domain)^[7]^[21].

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта обладает следующим важным свойством: любая такая область в комплексном пространстве

\mathbb {C} ^{n}

есть внутренность множества точек абсолютной сходимости (другими словами, собственно область сходимости) некоторого степенного ряда по переменным

z_{1}-a_{1},\,z_{2}-a_{2},\,\dots ,\,z_{n}-a_{n},

и обратно: область сходимости любого степенного ряда по

z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n}

есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром

a=0

^[18].

Область Рейнхарта есть частный случай круговой области^[18]^[22], а также кратно-кругообразной области^[20].

Область Рейнхарта — область

D

комплексного пространства

\mathbb {C} ^{n}

n\geqslant 1

, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой

z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D

в области

D

лежат также и все точки следующего вида^[18]^[7]^[19]^[21]:

\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,|z_{k}-a_{k}|=|z_{k}^{0}-a_{k}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},

или

z=\{a_{k}+(z_{k}^{0}-a_{k})e^{i\theta _{k}}\},\quad

0<\theta _{k}<2\pi ,

или

z=a+(z^{0}-a)e^{i\theta },\quad

\theta =(\theta _{1},\,\theta _{2},\,\dots ,\,\theta _{n})\in \mathbb {R} .

При

a=0

получаем^[18]^[7]^[23]^[24]^[20]^[21]:

z=z^{0}e^{i\theta },\quad

\theta =(\theta _{1},\,\theta _{2},\,\dots ,\,\theta _{n})\in \mathbb {R} .

Присутствующая в определении точка

a\in \mathbb {C} ^{n}

называется центром области Рейнхарта^[18]^[7]^[19].

Область Рейнхарта имеет следующие автоморфизмы^[19]:

w_{k}=a_{k}+(z_{k}-a_{k})e^{i\theta _{k}},\quad

k=1,\,2,\,\dots ,\,n.

Диаграммы Рейнхарта шара и поликруга
Диаграмма Рейнхарта шара для $n=2$
Диаграмма Рейнхарта шара для $n=3$
Диаграмма Рейнхарта бикруга для $n=2$
Диаграмма Рейнхарта трикруга для $n=3$

Круговая область

Область Рейнхарта естественным образом обобщается на круговую область^[18].

Круговая область — область

D

комплексного пространства

\mathbb {C} ^{n}

n\geqslant 1

, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой

z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in \mathbb {C} ^{n}

в области

D

лежат и все точки вида

z=\{a+(z^{0}-a)e^{i\theta }\},\quad

0<\theta <2\pi ,

другими словами, все точки окружности на комплексной прямой, проходящей через заданные точки

a

z^{0}

, с центром

a

и следующим радиусом^[18]^[22]:

|z^{0}-a|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}|z_{k}^{0}-a_{k}|^{2}}}

Присутствующая в определении точка

a\in \mathbb {C} ^{n}

называется центром круговой области^[7].

Синоним: круговое точечное множество^[25].

Круговая область есть частный случай области Хартогса^[25].

Полная круговая область — круговая область

D

, в которой с каждой точкой

z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D

лежит весь следующий круг^[18]^[7]:

\{z=a+(z^{0}-a)\lambda \},\quad

|\lambda |\leqslant 1.

Область Хартогса

Область Хартогса (англ. Hartogs domain) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия области Рейнхарта. Названа в честь немецкого математика Фридриха Хартогса^[англ.]^[26]^[22]^[19]^[25]^[27].

Синоним: полукруговая область^[26]^[19]^[25].

Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего ряда^[25]:

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n-1})z_{n}^{k}.

Область Хартогса есть частный случай кругообразной области^[25].

Область Хартогса — область

D

комплексного пространства

\mathbb {C} ^{n}

n\geqslant 1

, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой

z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n-1}^{0},\,z_{n}^{0})\equiv ('z^{0},\,z_{n}^{0})\in D

в области

D

лежат также и все точки следующей окружности^[26]^[22]^[19]^[25]^[27]:

\{('z^{0},\,a_{n}+(z_{n}^{0}-a_{n})e^{i\theta _{n}}),\quad 0\leqslant \theta _{n}<2\pi \}.

Кругообразная область

Область Хартогса естественным образом обобщается на кругообразную область^[25].

Орбита, порождаемая точкой

z\in \mathbb {C} ^{n}

, — точечное множество в комплексном пространстве

\mathbb {C} ^{n}

вида

\{t^{\alpha _{1}}z_{1},\,t^{\alpha _{2}}z_{2},\,\dots ,\,t^{\alpha _{n}}z_{n}\},\quad

|t|=1,

где

z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}

— любая фиксированная точка;

t\in \mathbb {C}

— любой комплексный параметр;

\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\dots ,\,\alpha _{n}

— целые неотрицательные числа, не все равные нулю. Орбита есть топологический образ окружности. Орбита может быть порождена любой из её точек^[25].

Кругообразная область — область

D

комплексного пространства

\mathbb {C} ^{n}

n\geqslant 1

, целиком состоящая из некоторых орбит^[25].

В частном случае при

\alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n}=1

получается круговая область, а при

\alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n-1}=0

\alpha _{n}=1

— область Хартогса^[25].

В более общем случае кругообразная область называется кругообразным точечным множеством^[25].

Обобщение кругообразной области — кругообразная область с произвольными целыми показателями

\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\dots ,\,\alpha _{n}

была впервые изучена французским математиком А. Картаном^[25].

Кратно-кругообразная область

Область Рейнхарта естественным образом обобщается на кратно-кругообразную область, частный случай кругообразной области^[20].

Введём следующие

m

параметров

t_{1},\,t_{2},\,\dots ,\,t_{m}

и организуем их в следующие

n

одночленов

\beta _{j}(t)=t_{1}^{\alpha _{j1}}t_{2}^{\alpha _{j2}}\dots t_{m}^{\alpha _{jm}},\quad j=1,\,2,\,\dots ,\,n,

где показатели степени

\alpha _{j1},\,\alpha _{j2},\,\dots ,\,\alpha _{jm}

— неотрицательные целые числа^[28].

Пусть определение орбиты следующее:

\{\beta _{1}(t)z_{1},\,\beta _{2}(t)z_{2},\,\dots ,\,\beta _{n}(t)z_{n}\},\quad

|t_{1}|=|t_{2}|=\cdots =|t_{m}|=1.

Кратно-кругообразная область — область

D

комплексного пространства

\mathbb {C} ^{n}

n\geqslant 1

, целиком состоящая из некоторых этих орбит^[28].

Неограниченные области

Полуплоскость

Полуплоскость (англ. half-plane^[29]) — понятие геометрии, в случае плоскости множество всех точек, которые находятся по одну сторону от некоторой прямой плоскости^[30]^[31]^[32]^[33]. Эта прямая определяет полуплоскость^[33].

Полуплоскость есть частный случай трубчатой области^[34].

Полоса

Полоса (англ. band) — понятие геометрии, в случае плоскости множество всех точек, которые находятся между двумя параллельными прямыми плоскости^[35]^[36]^[37]. Эти две прямые ограничивают полосу, и расстояние между ними называется шириной полосы^[38]^[39].

Полоса есть выпуклая область^[40].

Синоним: полоска^[39].

На комплексной плоскости

\mathbb {C}

с координатами

z=x+iy

конформное преобразование

w=e^{z}

отображает полосу

0<y<\pi

на верхнюю полуплоскость^[35]^[36]^[37]^[41], а полосу

0<y<2\pi

— на всю плоскость без положительной полуоси

\{x>0,\,y=0\}

^[42].

Полоса есть частный случай трубчатой области^[34].

Трубчатая область

Трубчатая область (англ. tubular domain) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий полосы и полуплоскости^[43]^[34]^[44].

Синонимы: труба^[43]; цилиндрическая область^[34].

Трубчатая область — область

D

комплексного пространства

\mathbb {C} ^{n}

n\geqslant 1

, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой

z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D

в области

D

лежат также и все точки следующего вида^[34]:

z=\{z_{k}^{0}+iy_{k}\},\quad -\infty <y<\infty ,\quad k=1,\,2,\,\dots ,\,n.

Произвольную трубчатую область

D

можно всегда представить в более простом виде — как следующее прямое произведение:

B\times \mathbb {R} ^{n}(y)

где область

B\in \mathbb {R} ^{n}(x)\subset \mathbb {C} ^{n}

x=(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n}),

называется основанием области

D

, а вещественное пространство

\mathbb {R} ^{n}(y)

состоит из точек

y=(y_{1},\,y_{2},\,\dots ,\,y_{n}).

В итоге получается, что трубчатая область может быть полностью охарактеризована её основанием

B\in \mathbb {R} ^{n}(x)

^[34].

Пользуясь тем, что

z=x+iy

, где

x

y

можно представить как вещественные

n

-мерные векторы, произвольная трубчатая область может быть символически записана либо в следующем виде^[34]^[43]:

T=B+i\mathbb {R} ^{n}(y)

то есть

T=\{x+iy\colon x\in B,y\in \mathbb {R} ^{n}\}

либо в следующем виде:

T=\mathbb {R} ^{n}(x)+iB

Примечания

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 1. Пространство $\mathbb {C} ^{n}$ , с. 7.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 1. Пространство $\mathbb {C} ^{n}$ , с. 7.
¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 13.
¹ ² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 4. Области, с. 22.
¹ ² Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.1 Prelilllinaries, p. 2.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 14.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 16.
¹ ² ³ ⁴ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава II. Основные факты… § 1. Функции комплексных переменных, с. 45—46.
¹ ² Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, Examples 6.3.3, p. 112.
Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу, 2005, 2.4.4. Обобщённый принцип максимума и лемма Шварца, с. 18.
¹ ² Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу, 2005, 2.1.1. Определения, простейшие свойства, с. 9.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ Соломенцев Е. Д. Поликруг, 1984.
¹ ² Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава V. Особенности в граничных точках. § 2. Аналитическое условие для возможности расширения области, с. 120.
¹ ² ³ ⁴ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 1.2 Complex affine subspaces. Ball and polydisc, p. 6.
Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава V. Особенности в граничных точках. § 5. Аналитические функции в эллиптических полицилиндрах, с. 132.
Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции. § 6. Области Гартогса и субгармонические функции, с. 201—202.
Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции. § 3. Результаты Осгуда, с. 191.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ Соломенцев Е. Д. Кратно круговая область, 1982.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение. § 8. Кратно-кругообразные области, с. 114.
¹ ² ³ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 2.3 Multiple power series and multicircular domains, p. 30.
¹ ² ³ ⁴ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 18.
Хёрмандер, Ларс Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968, 2.4. Степенные ряды и области Рейихарта, с. 57.
Мальгранж Б. Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных, 1969, § 2. Области Рейнхарта и круговые области, с. 12.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110.
¹ ² ³ Чирка Е. М. Гартогса область, 1977.
¹ ² Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck Several Complex Variables, 2011, 9.5 Exercises, p. 185.
¹ ² Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение. § 8. Кратно-кругообразные области, с. 113.
Courant R., Robbins H. What Is Mathematics?, 1996, Chapter IV. Projective Geometry… Appendix…, p. 228–229.
Полуплоскость, 1975.
Полуплоскость, 1984.
Полуплоскость, 1988.
¹ ² Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 254—255.
¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 19.
¹ ² Полоса, 1975.
¹ ² Полоса, 1984.
¹ ² Полоса, 1988.
Клейн Ф. Высшая геометрия, 2004, § 34. Перспектограф и пантограф, с. 148—149.
¹ ² Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава VI. Функции и пределы. § 4. Точное определение непрерывности, с. 338.
Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 21. Построение оболочек голоморфности, 4. Функции, голоморфные в полутрубчатых областях, с. 218.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 13. Показательная функция, с. 72.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 13. Показательная функция, с. 71—72.
¹ ² ³ Чирка Е. М. Трубчатая область, 1985.
Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 64.

Источники

Бохнер С., Мартин У. Т.^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил.
Клейн Ф. Высшая геометрия: Пер. с нем. Н. К. Брушлинского. Изд. 2-е, стереотипное. М.: Едиториал УРСС, 2004. 399 с., ил. ISBN 5-354-00603-1. [Felix Klein. Vorlesungen ber hhere Geometrie.]
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов: Пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 7-e, стереотипное. М.: МЦНМО, 2015. 564 с., ил. ISBN 978-5-4439-0628-7. [Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. London·New York·Toronto: Oxford University Press.]
Мальгранж Б. Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. Ю. В. Линника. М.: «Наука», 1969. 119 с.: ил. [Malgrange B. Lectures on the theory of functions of several complex variables.]
Полоса // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 20. Плата — Проб. 1975. 608 с. С. 249.
Полоса // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская энциклопедия», 1984. 1216 стб. Стб. 437.
Полоса // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 473.
Полуплоскость // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. С. 259.
Полуплоскость // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская энциклопедия», 1984. 1216 стб. Стб. 462.
Полуплоскость // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 474.
Соломенцев Е. Д. Кратно круговая область // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 88—89.
Соломенцев Е. Д. Поликруг // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 405—406.
Хёрмандер, Ларс. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. Е. М. Чирки, под ред. Б. В. Шабата. М.: «Мир», 1968. 279 с.
Чирка Е. М. Гартогса область // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 893.
Чирка Е. М. Трубчатая область // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 449.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 320 с.: ил.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. Second Edition. Revised by Ian Stewart. New York·Oxford: Oxford University Press. 1996. [Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. 2-е изд. Исправлено И. Стюартом. Нью Йорк — Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. 1996.]
Jaap Korevaar^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
Steven G. Krantz^[англ.]. Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing^[англ.], 1951. 564 p. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001.