Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
| Двадцатичетырёхъячейниковые соты
|
24-ячейник и первый уровень смежных 24-ячейников.
|
| Тип |
Правильные соты в четырёхмерном пространстве
Однродные соты в четырёхмерном пространстве[англ.]
|
| Символ Шлефли |
{3,4,3,3}
r{3,3,4,3}
2r{4,3,3,4}
2r{4,3,31,1}
{31,1,1,1}
|
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
|
| Тип тела |
{3,4,3}
|
| Тип ячейки |
{3,4}
|
| Тип грани |
{3}
|
| Рёберная фигура |
{3,3}
|
| Вершинная фигура |
{4,3,3}
|
| Двойственные соты |
{3,3,4,3}[англ.]
|
| Группы Коксетера |
, [3,4,3,3]
,
[4,3,3,4]
, [4,3,31,1]
, [31,1,1,1]
|
| Свойства |
правильные
| Двадцатичетырёхъячейниковые соты — это правильное заполняющее пространство замощение
(соты) четырёхмерного евклидова пространства правильными двадцатичетырёхъячейниками (24-ячейниками).
Соты могут быть представлены символом Шлефли {3,4,3,3}.
Для краткости будем в дальнейшем вместо двадцатичетырёхъячейниковые соты использовать 24-соты.
Двойственное замощение правильными 16-ячейниковыми сотами[англ.] имеет символ Шлефли {3,3,4,3}.
Вместе с тессерактными сотами[англ.] (сотами из четырёхмерных кубов) они
являются единственными правильными замощениями в евклидовом четырёхмерном пространстве.
Содержание
Координаты
24-соты могут быть построены как диаграмма Вороного D4 или решётки симметрии F4.
Каждый 24-ячейник затем центрируется в точке решётки D4, то есть в одной из
Эти точки могут быть описаны как кватернионы Гурвица с чётной квадратной нормой.
Вершины сот лежат в глубоких пустотах решётки D4. Они являются кватернионами Гурвица с нечётной квадратной нормой.
Соты могут быть построены как биспрямлённые тессерактные соты,
если взять тессерактные соты[англ.] и разместить вершины в центрах всех квадратных граней.
Фасеты 24-ячейника находятся между этими вершинами как спрямлённые 16-ячейники.
Если координатами тессерактных сот являются целые (i,j,k,l), вершины биспрямлённых тессерактных сот
можно расположить на всех перестановках половинных сдвигов в двух из четырёх размерностей, то есть,
(i+1/2,j+
Конфигурация
Каждый 24-ячейник имеет 24 соседних 24-ячейника.
С каждым соседним 24-ячейником ячейка сот делит ровно одну октаэдральную (3-мерную) ячейку.
24-ячейник имеет кроме того ещё 24 соседних 24-ячейника, имеющих с ним одну общую вершину.
Ячейник не имеет соседей, имеющих с ним только общее ребро или общую грань.
Вершинная фигура 24-сот является тессерактом (4-мерным кубом).
Таким образом, в каждой вершине сходятся 16 рёбер, 32 треугольника, 24 октаэдра и 8 24-ячейников.
Рёберная фигура является тетраэдром,
так что имеется 4 треугольника, 6 октаэдров и 4 24-ячейника вокруг каждого ребра.
Наконец, фигурой грани является треугольник, так что имеется 3 октаэдра и 3 24-ячейника на каждой грани.
Сечения
Одним из способов представить визуально 4-мерное тело является различные 3-мерные сечения.
То есть, пересечение различных гиперплоскостей с рассматриваевым телом.
Применение этой техники к 24-сотам даёт различные трёхмерные соты с разной степенью правильности.
Вершинное сечение использует некую гиперплоскость, ортогональную отрезку, соединяющему две противоположные вершины 24-ячейника.
Например, можно взять любую из координатных гиперплоскостей в приведённой выше координатной системе
(то есть, плоскости, определённые выражением xi = 0).
Сечение сот {3,4,3,3} одной из этих гиперплоскостей даёт ромбододекаэдральные соты.
Каждый из ромбододекаэдров соответствует максимальному сечению одного из 24-ячейников гиперплоскостью
(центр каждого такого (4-мерного) 24-ячейника лежит на гиперплоскости).
Соответственно, ромбододекаэдральные соты являются замощением Вороного решётки D3 (гранецентрированной решётки).
Сдвиг гиперплоскости наполовину к одной из вершин (например, xi = 1/2) приводит к правильным кубическим сотам.
В этом случае центр каждого 24-ячейника лежит на гиперплоскости.
Сдвинув ещё, так что гиперплоскость окажется на вершине, получим другие ромбододекаэдральные соты, но с новыми 24-ячейниками
(прежние ячейники схлопнутся до точек).
В общем случае, для любого n сечение через xi = n является ромбододекаэдральными сотами,
а сечение через xi = n + 1/2 является кубическими сотами.
При движении гиперплоскости в 4-мерном пространстве сечение периодически меняется между этими двумя видами сот.
Ячейное сечение использует некую гиперплоскость, параллельную оной из октаэдральных ячеек 24-ячейника.
Представим, например, гиперплоскость, перпендикулярную вектору (1,1,0,0).
Сечение сот {3,4,3,3} этой гиперплоскостью является полноусечёнными кубическими сотами[англ.].
Каждый кубооктаэдр в этих сотах является максимальным сечением 24-ячейника, центр которого лежит на плоскости.
Между тем, каждый октаэдр является граничной ячейкой (4-мерного) 24-ячейника, центр которого лежит на плоскости.
Сдвигая гиперплоскость наполовину между центром 24-ячейника и границей получим дважды усечённые кубические соты[англ.].
Кубооктаэдры уменьшаются в размерах, а октаэдры растут, пока оба не станут усечёнными октаэдрами.
Сдвигая далее, так что гиперплоскость пересечёт границу центрального 24-ячейника, получим снова полноусечённые кубические соты,
кубооктаэдры и октаэдры поменяются местами.
При движении гиперплоскости в 4-мерном пространстве сечение периодически меняется между этими двумя видами сот.
Контактное число
Если трёхмерная сфера вписана в каждую гиперячейку замощения,
получающееся расположение является наиболее плотной
[1]
правильной упаковкой сфер в четырёхмерном пространстве с контактным числом 24.
Плотность упаковки в этом расположении сфер равна
Каждая вписанная трёхмерная сфера касается 24 других в центрах октаэдральных ячеек этих 24-ячейников,
поскольку каждая такая октаэдраальная грань является общей для смежных 24-ячейников.
В замощении с единичной длиной рёбер диаметр сфер (расстояние между двумя центрами соприкасающихся сфер) равен 2.
Сразу за этой окружающей оболочкой из 24 касающихся 3-сфер находится другая менее плотная оболочка из 24 3-сфер, которые не касаются друг друга или центральной 3-сферы.
Они вписаны в 24-ячейники, с которыми центральный 24-ячейник имеет только одну общую вершину (а не октаэдральную ячейку).
Расстояние между центром одной их этих сфер и любого соседа из окружающей оболочки или центтральной сферы равно 2.
Альтернативно, такая же упаковка сфер с контактным числом 24 может быть получена с меньшими 3-сферами, если расположить их в центрах и вершинах 24-ячейников.
(Это эквивалентно расположению их на вершинах 16-ячейниковых сот[англ.] с единичной длиной ребра.)
В этом случае центральная 3-сфера касается 24 других в центрах кубических фасет трёх тессерактов, вписанных в 24-ячейник.
Сразу за оболочкой из этих касающихся 3-сфер диаметра 1 находится другая менее плотная оболочка 24 не касающихся друг друга 3-сфер диаметра 1.
Их центры находятся в смежных 24-ячейниках, с которыми центральный 24-ячейник имеет общие октаэдральные фасеты.
Расстояние между центрами этих сфер и центрами соседей из оболочки или центральной сферы равно 2.
Построения симметрией
Имеется пять различных построения Витхоффа этого замощения как однородного политопа[англ.].
Они геометрически идентичны правильной форме, но разница симметрий может быть представлена путём раскрашивания
фасет 24-ячейника. Во всех случаях восемь 24-ячейников сходятся в одной вершине, но вершинные фигуры имеют
различные генераторы симметрии.
| Группа Коксетера
|
Символы Шлефли
|
Диаграмма Коксетера
|
Фасеты
(24-ячейников)
|
Вершинная фигура
(8-ячейник)
|
Порядок
симметрии
вершинной
фигуры
|
| = [3,4,3,3]
|
|
{3,4,3,3}
|
|
8:
|
|
384
|
|
r{3,3,4,3}
|
|
6:
2:
|
|
96
|
| = [4,3,3,4]
|
|
2r{4,3,3,4}
|
|
4,4:
|
|
64
|
| = [4,3,31,1]
|
|
2r{4,3,31,1}
|
|
2,2:
4:
|
|
32
|
| = [31,1,1,1]
|
|
{31,1,1,1}
|
|
2,2,2,2:
|
|
16
|
Смотрите также
Другие однородные соты в четырёхмерном пространстве:
Примечания
- Задача об упаковке сфер и задача о контактном числе чрезвычайно сложны и оптимальные решения известны только в размерностях 1, 2, 3, 8 и 24
(плюс размерность 4 для задачи о контактном числе).
Литература- H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — Third edition. — Dover edition, 1973. — С. 296 Table II: Regular honeycombs. — ISBN 0-486-61480-8i.
- H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- George Olshevsky. Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs - Model 88 // Uniform Panoploid Tetracombs. — Manuscript, 2006.
- Klitzing, Richard. Euclidean tilings|o4o3x3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o4o3o, o3o3o4o3x - icot - O88
|
|
